Проецирование на две плоскости проекций. Проецирование на три взаимно перпендикулярные плоскости проекций
При решении задач бывает недостаточно двух проекций. Поэтому вводят третью плоскость перпендикулярно плоскостям П 1 и П 2 . Ее называют профильной плоскостью (П 3 ) .
Три плоскости делят пространство на 8 частей – октантов (рис. 6). Как и прежде, будем считать, что зритель, рассматривающий предмет, находится в первом октанте. Чтобы получить эпюр (рис. 7) любого геометрического образа плоскости П 1 и П 3 вращают, как показано на рис. 6.
Плоскости проекций, попарно пересекаясь, определяют три оси x , y и z , которые можно рассматривать как систему декартовых координат в пространстве с началом в точке О .
Для получения эпюра точки в системе трех плоскостей проекций плоскости П 1 и П 3 вращают до совмещения с плоскостью П 2 (рис. 8). При обозначении осей на эпюре отрицательные полуоси обычно не указывают.
Для нахождения профильной проекции точки поступают следующим образом: из фронтальной проекции А 2 точки А проводят прямую перпендикулярно оси Z и на этой прямой от оси z откладывают отрезок, равный координате у точки А (рис. 9).
Рис.8 Рис. 9
Координатами называют числа, которые ставят в соответствие точке для определения ее положения в пространстве или на поверхности. В трехмерном пространстве положение точки устанавливают с помощью прямоугольных декартовых координат x
, y
и z
(абсцисса, ордината и аппликата):
а
?
бсцисса
х
= ………..= …..…..= ….….. = ……….. – расстояние от точки до плоскости П 3;
ордината у = ……….= ………= …...... = ………… – расстояние от точки до плоскости П 2;
аппликата
z= …….. = ………= ……..= ………… – расстояние от точки до плоскости П 1
А
1
А
2
– вертикальная линия связи, перпендикулярная оси х;
А
2
А
3
– горизонтальная линия связи, перпендикулярная оси
z
.
А
?
1
(….,….) Положение проекции каждой точки
А 2 (….,….) определяется двумя координатами
А
3
(….,….)
Если точка принадлежит хотя бы одной плоскости проекций, она занимает частное
положение относительно плоскостей проекций. Если точка не принадлежит ни одной из плоскостей проекций, она занимает общее
положение.
Лекция № 2
ПРЯМАЯ
1. Прямая. 2. Положение прямой относительно плоскостей проекций. 3. Принадлежность точки прямой. 4. Следы прямой. 5. Деление отрезка прямой в данном соотношении. 6. Определение длины отрезка прямой и углов наклона прямой к плоскостям проекций. 7. Взаимное положение прямых.
1
ПРЯМАЯ
Проекцией прямой в общем случае является прямая, за исключением случая, когда прямая перпендикулярна плоскости (рис. 10).
Чтобы построить эпюр прямой определяют координаты x , y , z двух точек прямой и переносят эти величины на чертеж.
2 ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ ОТНОСИТЕЛЬНО ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИИ
В
зависимости от положения прямой по отношению к плоскостям проекций она может занимать как общее, так и частные положения.
П
роекция прямой общего положения меньше самой прямой.
Различают восходящую прямую – это прямая, которая по мере удаления от наблюдателя повышается (рис. 11) и нисходящую, которая понижается.
h П 1 ; Z = const
h 2 0x признак
h 3 0у горизонтали
h 1 = h – свойство
горизонтали
– угол наклона прямой к
плоскости П 1
– угол наклона прямой к
плоскости П 2
– угол наклона прямой к
плоскости П 3
?
= 0
= (h 1 П 2) обозначить
Рис. 12. Горизонталь
= (h
1 П 3) на чертеже
f П 2 ; у = const
f 1 0x признак
f 3 0z фронтали
f
2 = f
– свойство фронтали
?
= 0
= (f 2 П 1) обозначить
= (f 2 П 3) на чертеже
Рис. 13. Фронталь
р П 3 ; х = const
р
1 0у
признак
р 2 0z профильной прямой
р 3 = р – свойство профильной
прямой
= 0
?
= (р
3 П 1) обозначить
= (р 3 П 2) на чертеже
Рис. 14. Профильная прямая
а П 1
а 2 0х признак
а
3 0у
?
=
b
П 2
b 1 0х признак
b
3 0z
?
=
c П 3
c 1 0у признак
с
2 0z
?
=
3 ПРИНАДЛЕЖНОСТЬ ТОЧКИ ПРЯМОЙ
Т
еорема:
Если в пространстве точка принадлежит прямой, то на эпюре проекции этой точки находятся на одноименных проекциях прямой (рис. 18):
М АВ ,
Е
АВ
.
Справедлива обратная теорема
:
М 1 A 1 B 1 ;
М 2 A 2 B 2 М АВ .
4 СЛЕДЫ ПРЯМОЙ
С
?
лед
– это точка пересеченная прямой с плоскостью проекций
(рис. 19).
Так как след принадлежит одной из плоскостей проекций, то его одна координата должна быть равна нулю.
обозначить на H = k ∩ П 1 – горизонтальный след
чертеже (рис. 19) F = k ∩ П 2 – фронтальный след
?
Р =
k
∩
П 3
– профильный след
Правило построения следов:
Для построения горизонтального следа прямой ….. необходимо фронтальную проекцию ….. прямой ….. продолжить до пересечения с осью Х , затем из точки пересечения с осью Х восстановить к ней перпендикуляр, и продолжить горизонтальную ….. проекцию прямой …… до пересечения с этим перпендикуляром.
Фронтальный след строиться аналогично.
5 ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА ПРЯМОЙ В ДАННОМ СООТНОШЕНИИ
Из свойств параллельного проецирования известно , что если точка делит отрезок прямой в данном отношении, то проекции этой точки делят одноименные проекции прямой в том же соотношении.
Поэтому, чтобы некоторый отрезок разделить на эпюре в данном соотношении, надо в том же отношении разделить его проекции.
Зная это условие можно определить принадлежность точки К прямой АВ : А 2 К 2 : К 2 В 2 ¹ А 1 К 1 : К 1 В 1 Þ К Ï АВ
Пример: Чтобы разделить отрезок АВ в отношении 2: 3 из точки А 1 проведем произвольный отрезок А 1 В 0 1 разделенный на пять равных частей (рис. 20): A 1 K 0 1 = 2 частям, K 0 1 B 0 1 = 3 частям, А 1 К 0 1 : К 0 1 В 0 1 =2: 3
Соединить точку В 0 1 с точкой В 1 и проведя из точки К 0 1 прямую параллельную (В 1 В 0 1) получим проекцию точки К 1 . Согласно теореме Фалеса (Если на одной стороне угла отложить равные отрезки и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие другую сторону, то на другой стороне отложатся равные между собой отрезки) А 1 К 1: К 1 В 1 = = 2: 3, далее находим К 2 . Таким образом проекции точки К делят одноименные проекции отрезка АВ в данном отношении следовательно и точка К делит отрезок АВ в отношении 2: 3.
6 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЛИНЫ ОТРЕЗКА ПРЯМОЙ И УГЛОВ
НАКЛОНА ПРЯМОЙ К ПЛОСКОСТЯМ ПРОЕКЦИЙ
Длину отрезка АВ
можно определить из прямоугольного треугольника АВС
,гдеA
С
=
A
1
B
1
, СB
=
DZ
, угол a
- угол наклона отрезка к плоскости П
1
. Для этого на эпюре (рис. 21) из точки B
1
под углом 90 проводим отрезок B
1
B
1
0
=
DZ
,
полученный в результате построений отрезок A
1
B
1
0
и будет натуральной величиной отрезка АВ
, а угол B
1
A
1
B
1
0
= α
. Рассмотренный метод называется методом прямоугольного треугольника
. Однако все построения можно объяснить, как вращение треугольника АВС
вокруг стороны AС
до тех пор, пока он не станет параллелен плоскости П
1
, в этом случае треугольник проецируется на плоскость проекций без искажения. Для определения b
- угла наклона отрезка к плоскости П
2
построения аналогичные (рис. 22). Только в треугольнике АВС
сторона ВС
=
D
U
и треугольник совмещается с плоскостью П
2
.
? Обозначить проекции прямой и
определить угол α.
Обозначить проекции прямой и
определить угол α.
Обозначить проекции прямой и
определить угол β.
7 ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ
Прямые в пространстве могут пересекаться, скрещиваться и быть параллельными.
1. Пересекающиеся прямые – это прямые, которые лежат в одной плоскости и имеют общую точку (a ∩ b = K ).
Теорема: Если в пространстве прямые пересекаются , то на чертеже пересекаются их одноименные проекции (рис. 23).
Т
очка пересечения одноименных проекций находится на одном перпендикуляре к оси Х
(К
1 К
2 Ох
).
К = a ∩ b К a ; К b К 1 = a 1 ∩ b 1 ;
К
2 = a
2 ∩ b
2 .
Справедлива и обратная теорема:
Если К 1 а 1 ; К 2 b 2 , то
К 1 = а 1 ∩ b 1 ;
К
2 = а
2 ∩ b
2 К
= а
∩ b
.
2.
Скрещивающиеся прямые
– это прямые, которые не лежат в одной плоскости и не имеют общей точки (рис. 24).
Пары точек 1 и 2 , лежащие на горизонтально-проецирующей прямой называются горизонтально-конкурирующими, а точки 3 и 4 – фронтально-конкурирующими. По ним определяется видимость на эпюре.
П
о горизонтально-конкурирующим точкам 1
и 2
определяется видимость относительно П 1 . Точка 1
ближе к глазу наблюдателя, она будет видима на плоскости П 1 . Так как точка 1 m
, то прямая m
будет выше прямой n
.
Какая прямая будет видимой по отношению к плоскости
П 2
?
3.
Параллельные прямые
– это прямые, которые лежат в одной плоскости и имеют несобственную общую точку.
Теорема:
Е
сли в пространстве прямые параллельны, то на чертеже параллельны их одноименные проекции (рис. 25).
Если k
m
k
1 m
1 , k
2 m
2 , k
3 m
3
Справедлива обратная теорема:
Если k
1 m
1 ; k
2 m
2 k
m
Лекция № 3
ПЛОСКОСТЬ
1. Способы задания плоскости на чертеже. Следы плоскости. 2. Положение плоскости относительно плоскостей проекций. 3. Принадлежность точки и прямой плоскости. 4. Главные (особые) линии плоскости.
1 СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ПЛОСКОСТИ НА ЧЕРТЕЖЕ.
СЛЕД ПЛОСКОСТИ
Плоскость – бесконечная во все стороны линейчатая поверхность, которая на всем своем протяжении не имеет кривизны и преломления.
Плоскость на чертеже может быть задана:
Тремя точками, не лежащими на одной прямой – Р (A , B , C ) , рис. 26.
Прямой и точкой, не лежащей на этой прямой –Р (m , A ; A m ) , рис. 27.Рис. 29 Рис. 30
Задание плоскости следамиСлед плоскости – линия пересечения плоскости с плоскостью проекций (рис. 31).
Горизонтальный след получается при пересечении плоскости Р с горизонтальной плоскостью проекций (Р П1 = Р ∩ П 1).
Р П2 = Р ∩ П 2 – фронтальный след ;
Р
П3 = Р ∩ П 3 – профильный след
; Р x , Р y , Р z – точки схода следов .
Частный случаем пересечения плоскостей являются взаимно перпендикулярные плоскости.
Известно, что две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой. Через точку А можно провести множество плоскостей, перпендикулярных данной плоскости a ( h , f ) . Эти плоскости образуют в пространстве пучок плоскостей, осью которого является перпендикуляр опущенный из точки А на плоскость a . Для того, чтобы через точку А провести плоскость, перпендикулярную плоскости a ( h ,f ) , необходимо из точки А провести прямую n, перпендикулярную плоскости a ( h ,f ) , (горизонтальная проекция n 1 перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали h 1 , фронтальная проекция n 2 перпендикулярна фронтальной проекции фронтали f 2 ). Любая плоскость, проходящая через прямую n a ( h ,f ) , поэтому для задания плоскости через точку А проводим произвольную прямую m . Плоскость заданная двумя пересекающимися прямыми (m ,n) , будет перпендикулярна плоскости a ( h ,f ) (рис. 50).
3.5. Отображение относительного положения прямой и плоскости
Известны три варианта взаимного расположения прямой и плоскости:
Прямая принадлежит плоскости.
Прямая параллельна плоскости.
Прямая пересекает плоскость.
Очевидно, что если прямая не имеет двух общих точек с плоскостью, то она или параллельна плоскости, или пересекает ее.
Большое значение для задач начертательной геометрии имеет частный случай пересечения прямой и плоскости, когда прямая перпендикулярна плоскости.
3.5.1. Параллельность прямой и плоскости
При решении вопроса о параллельности прямой линии и плоскости необходимо опираться на известное положение стереометрии: прямая параллельна плоскости, если она параллельна одной из прямых, лежащих в этой плоскости и не принадлежит этой плоскости.
Пусть дана плоскость общего положения ABC и прямая общего положения а. Требуется оценить их взаимное положение (рис. 51).
Для этого через прямую а проведем вспомогательную секущую плоскость g - в данном случае горизонтально проецирующая плоскость. Найдем линию пересечения плоскостейg и А ВС - прямую п (DF ). Проекция прямой п на горизонтальную плоскость проекций совпадает с проекцией а 1 и со следом плоскости g . Проекция прямой п 2 параллельна а 2 , п 3 параллельна а 3 , следовательно, прямая а параллельна плоскости AВС.
3.5.2. Пересечение прямой с плоскостью
Нахождение точки пересечения прямой линии и плоскости – одна из основных задач начертательной геометрии.
Пусть дана плоскость AВС и прямая а. Требуется найти точку пересечения прямой с плоскостью и определить видимость прямой по отношению к плоскости.
Алгоритм решения задачи (рис. 52) следующий:
Через горизонтальную проекцию прямой а 1 проведем вспомогательную горизонтально проецирующую плоскость g .
Находим линию пересечения вспомогательной плоскости с заданной. Горизонтальный след плоскости g 1 пересекает проекцию плоскости A 1 В 1 С 1 в точках D 1 и F 1 , которые определяют положение горизонтальной проекции п 1 - линии пересечения плоскостей g и AВС . Для нахождения фронтальной и профильной проекции п спроецируем точки D и F на фронтальную и профильную плоскости проекций.
Определяем точку пересечения прямых а и п. На фронтальной и профильной проекциях линия пересечения плоскостей п пересекает проекции а в точке К , которая и является проекцией точки пересечения прямой а с плоскостью AВС , по линии связи находим горизонтальную проекцию К 1 .
Методом конкурирующих точек определяем видимость прямой а по отношению к плоскости AВС .
Для решения данной задачи вводят систему трех взаимно перпендикулярных плоскостей, так как при составлении чертежей, например машин и их частей, требуется не два, а больше изображений. На этом основании в некоторые построения при решении задач необходимо вводить в систему p 1 , p 2 и другие плоскости проекций.
Эти плоскости делят все пространство на VIII частей, которые называются октантами (от лат. okto восемь). Плоскости не имеют толщины, непрозрачны и бесконечны. Наблюдатель находится в первой четверти (для систем p 1 , p 2) или первого октанта (для систем p 1 , p 2 , p 3) в бесконечном удалении от плоскостей проекций.
§ 6. Точка в системе p 1 , p 2 , p 3
Построение проекций некоторой точки А, расположенной в I октанте, на три взаимно перпендикулярные плоскости p 1 , p 2 , p 3 показано на рис. 2.27. Используя совмещение плоскостей проекций с плоскостью p 2 и применяя способ вращения плоскостей, получаем комплексный чертеж точки А (рис. 2.28):
АА 1 ^ p 1 ; АА 2 ^ p 2 ; АА 3 ^ p 3 ,
где А 3 – профильная проекция точки А; А Х, А y , А Z – осевые проекции точки А.
Проекции А 1 , А 2 , А 3 называются соответственно фронтальной, горизонтальной и профильной проекцией точки А.
 |  |
| Рис. 2.27 | Рис. 2.28 |
Плоскости проекций, попарно пересекаясь, определяют три оси x, y, z, которые можно рассматривать как систему декартовых координат: ось Х называется осью абцисс, ось y – осью ординат, ось Z – осью аппликат, точка пересечения осей, обозначаемая буквой О, есть начало координат.
Так, зритель, рассматривающий предмет, находится в первом октанте.
Для получения комплексного чертежа применим способ вращения плоскостей p 1 и p 3 (как показано на рис. 2.27) до совмещения с плоскостью p 2 . Окончательный вид всех плоскостей в первом октанте приведен на рис. 2.29.
Здесь оси Оx и Оz , лежащие в неподвижной плоскости p 2 , изображены только один раз, ось Оy показана дважды. Объясняется это тем, что, вращаясь с плоскостью p 1 , ось y на эпюре совмещается с осью Оz , а вращаясь с плоскостью p 3 , эта же ось совмещается с осью Оx .
Рассмотрим рис. 2.30, где точка пространства А , задана координатами (5,4,6). Эти координаты положительны, и сама она находится в первом октанте. Построение изображения самой точки и ее проекций на пространственной модели осуществляется с помощью координатного прямоугольного параллелограмма. Для этого на осях координат откладываем отрезки, соответственно отрезкам длины: ОАх = 5, OАy = 4, OАz = 6. На этих отрезках (ОАx, ОАy, ОАz ), как на ребрах, строим прямоугольный параллелепипед. Одна из его вершин будет определять заданную точку А .
Говоря о системе трех плоскостей проекций на комплексном чертеже (рис. 2.30), необходимо отметить следующее.
Первое
1. две проекции точки принадлежат одной линии связи;
2. две проекции точки определяют положение третьей ее проекции;
3. линии связи перпендикулярны соответствующей оси проекций.
Второе
Любая точка пространства задается координатами. По знакам координат можно определить октант, в котором находится заданная точка. Для этого воспользуемся табл. 2.3, в которой рассмотрены знаки координат в 1–4 октантах (5–8 октанты не представлены, они имеют отрицательное значение х , а y и z повторяются).
Таблица 2.3
| x | y | z | Октант |
| + | + | + | I |
| + | _ | + | II |
| + | _ | _ | III |
| + | + | _ | IV |
Образование комплексного чертежа в системе трех плоскостей проекций осуществляется совмещением плоскостей p 1 , p 2 , p 3 (рис. 2.31).
Ось у в этом случае имеет два положения: y 1 c плоскостью p 1 , y 3 c плоскостью p 3 .
Горизонтальная и фронтальная проекции точки располагаются на линии проекционной связи, перпендикулярной оси x , фронтальная и профильная проекции – на линии проекционной связи, перпендикулярной к оси z .
А 1 А Х = А 3 А Z = АА 2 – расстояние от А до p 2
А 2 А Х = А 3 А y = АА 1 – расстояние отА до p 1
А 1 А y = А 2 А Z = АА 3 – расстояние от А до p 3
Расстояние точки от плоскости проекций измеряются аналогично отрезкам на эпюре (рис. 2.32).
При построении проекции точки в пространстве и на комплексном чертеже могут применяться различные алгоритмы.
1. Алгоритм построения наглядного изображения точки, заданной координатами (рис. 2.30):
1.1. Соотнести знаки координат x, y, z с данными табл. 2.3.
1.2. Определить четверть, в которой расположена точка.
1.3. Выполнить наглядное (аксонометрическое) изображение четверти.
1.4. Отложить координаты точки на осях А Х, А Y , А Z .
1.5. Построить проекции точки на плоскостях p 1 , p 2 , p 3.
1.6. Построить перпендикуляры к плоскостям p 1 , p 2 , p 3 в точках проекции А 1 , А 2 , А 3 .
1.7. Точка пересечения перпендикуляров есть искомая точка А.
2. Алгоритм построения комплексного чертежа точки в системе трех плоскостей проекций p 1 , p 2 , p 3 , заданной координатами (рис. 2.32)
2.1. Определить по координатам четверть, в которой расположена точка.
2.2. Определить механизм совмещения плоскостей.
2.3. Построить комплексный чертеж четверти.
2.4. Отложить координаты точки на осях x, y, z (А Х, А Y , А Z).
2.5. Построить проекции точки на комплексном чертеже.
§ 7. Комплексный чертеж и наглядное изображение точки в I–IV октантах
Рассмотрим пример построения точек А, В, С, D в различных октантах (табл. 2.4).
Таблица 2.4
Похожая информация.
Существует множество деталей, информацию о форме которых невозможно передать двумя проекциями чертежа (рис. 75).
Для того чтобы информация о сложной форме детали была представлена достаточно полно, используют проецирование на три взаимно перпендикулярные плоскости проекции: фронтальную - V, горизонтальную - H и профильную - W (читается «дубль вэ»).
Система плоскостей проекций представляет собой трехгранный угол с вершиной в точке О. Пересечения плоскостей трехгранного угла образуют прямые линии - оси проекций (OX, OY, OZ) (рис. 76).
В трехгранный угол помещают предмет так, чтобы его формообразующая грань и основание были бы параллельны соответственно фронтальной и горизонтальной плоскостям проекций. Затем через все точки предмета проводят проецирующие лучи, перпендикулярные всем трем плоскостям проекций, на которых получают фронтальную, горизонтальную и профильную проекции предмета. После проецирования предмет удаляют из трехгранного угла, а затем горизонтальную и профильную плоскости проекций поворачивают на 90* соответственно вокруг осей ОХ и OZ до совмещения с фронтальной плоскостью проекции и получают чертеж детали, содержащий три проекции.
Рис. 75. Проецирование на две плоскости проекций не всегда дает
полное представление о форме предмета
Рис. 76. Проецирование на три взаимно перпендикулярные
плоскости проекций
Три проекции чертежа взаимосвязаны друг с другом. Фронтальная и горизонтальная проекции сохраняют проекционную связь изображений, т. е. устанавливаются проекционные связи и между фронтальной и горизонтальной, фронтальной и профильной, а также горизонтальной и профильной проекциями (см. рис. 76). Линии проекционной связи определяют местоположение каждой проекции на поле чертежа.
Во миогнх странах мира принята другая система прямо- угольного проецирования на три взаимно перпендикулярные плоскости проекций, которая условно называется «американская» (см. Приложение 3). Основное eе отличие состоит в том, что по-иному, относительно проецируемого объекта, в пространстве располагается трехгранный угол и в других направлениях разворачиваются плоскости проекций. Поэтому горизонтальная проекция оказывается над фронтальной, а профильная проекция - справа от фронтальной.
Форма большинства предметов представляет собой сочетание различных геометрических тел или их частей. Следовательно, для чтения и выполнения чертежей нужно знать, как изображаются геометрические тела в системе трех проекций на производстве (табл. 7). (Чертежи, содержащие три проекции, называются комплексными чертежами.)
7. Комплексные и производственные чертежи деталей простой геометрической формы
П p и м e ч а н и я: 1. В зависимости от особенностей производственного процесса на чертеже изображают определенное число проекций. 2. На чертежах принято давать наименьшее, но достаточное число изображений для определения формы предмета. Число изображений чертежа можно уменьшить, используя условные знаки s, l, ? которых вы уже знаете.
