Теорема о прямой перпендикулярной данной. Конспект урока "теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости"
Прямая, перпендикулярная к плоскости, перпендикулярна к любой прямой этой плоскости. На основании теоремы о проецировании прямого угла, а суть ее в следующем:
при прямоугольном проецировании прямой угол проецируется в натуральную величину (прямым) только в том случае, если одна из его сторон параллельна плоскости проекций, а другая - не перпендикулярна этой плоскости,
в качестве прямых плоскости общего положения удобнее всего использовать ее линии уровня.
Поэтому, проводя перпендикуляр к плоскости, необходимо брать в этой плоскости две такие прямые: горизонталь и фронталь.
Проекции прямой, перпендикулярной к плоскости, на комплексном чертеже перпендикулярны к соответствующим проекциям ее линий уровня, т.е. если прямая линия перпендикулярна плоскости, то ее горизонтальная проекция должна быть перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали, а ее фронтальная проекция - фронтальной проекции фронтали (рис. 67) или соответствующим следам плоскости (рис. 68).
На рис. 69 изображена плоскость общего положения (a b ), к которой к которой требуется провести перпендикулярную прямую.
Рис. 67 Рис. 68
Рис. 69
Проводим в данной плоскости горизонталь h (через точки 1,3) и фронтальv (через точки 1,4) (рис. 69).
Затем из точки 1 проводим прямую n перпендикулярно к горизонтали и фронтали плоскости следующим образом:
n" h" n"" h""
Построенная прямая n (n" ,n"" ) является искомым перпендикуляром к плоскости.
Перпендикулярные плоскости
Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой. Построение таких плоскостей может быть выполнено двумя путями:
1) плоскость проводится через перпендикуляр к другой;
2) плоскость проводится перпендикулярно прямой, принадлежащей другой плоскости.
На рис. 70 изображены прямая общего положения l и плоскость общего положения(а b ). Требуется построить через прямуюl плоскость, перпендикулярную к плоскости.
Рис. 70
Для решения задачи необходимо через какую-нибудь точку данной прямой, например, точку М , провести перпендикуляр к плоскости, заданной пересекающимися прямымиa иb .
Проводим в плоскости горизонтальh и фронтальv (рис. 70).
Далее из точки М , взятой на прямойl , опускаем перпендикулярn , пользуясь рассмотренным выше положением:n" h" ;n"" v"" , т.е. горизонтальная проекция перпендикуляра будет перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная его проекция - перпендикулярна фронтальной проекции фронтали (рис. 70).
Плоскость (l n ), проходящая через прямуюn , будет перпендикулярна к плоскости.
Перпендикулярные прямые
Две прямые перпендикулярны в том и только в том случае, если через каждую из них можно провести плоскость, перпендикулярную к другой прямой.
На рис. 71 изображена прямая l общего положения, к которой требуется провести перпендикулярную прямую.
Рис. 71
Через точку А прямойl строим перпендикулярную к ней плоскость(h v ):
l" h" ; l"" h"" (рис. 71).
Любая прямая, лежащая в плоскости будет также перпендикулярна к данной прямойl . Поэтому проведем в этой плоскости произвольную прямуюt , на которой возьмем произвольную точку, например, точкуВ (рис. 71).
Соединив точки А иВ , лежащие в плоскости, получим прямуюn , перпендикулярную к данной прямойl (рис. 71).
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
Что называется линией наибольшего наклона плоскости?
Как определить угол наклона плоскости к фронтальной плоскости проекций?
Как отображается на комплексном чертеже взаимная перпендикулярность прямой и плоскости?
Сформулировать необходимые и достаточные условия перпендикулярности двух прямых общего положения.
При каких условиях перпендикулярны между собой две плоскости общего положения?
Как провести плоскость, перпендикулярную к данной прямой?
Как провести перпендикуляр из точки на прямую общего положения?
Как построить взаимно-перпендикулярные плоскости?
9.1 Теорема о прямой, перпендикулярной плоскости
Теорема о параллели к перпендикуляру позволяет доказать основную теорему о прямой, перпендикулярной плоскости.
Доказательство. Пусть даны точка А и плоскость α (рис. 87, а). Можно считать, что А не лежит в плоскости α, так как случай, когда А ∈ α, рассмотрен в задаче п. 7.3. Проведём через какую-либо точку плоскости α прямую а ⊥ α (задача п. 7.3).
Если а проходит через А, то она искомая прямая. Если это не так, то проведём через А прямую b||а. По теореме о параллели к перпендикуляру b ⊥ α. Итак, мы построили прямую, проходящую через точку А и перпендикулярную α.
Рис. 87
Докажем, что такая прямая единственная. Допустим, что через точку А проходят две прямые р и q, перпендикулярные α. Проведём через них плоскость β (рис. 87, б). Эта плоскость пересекает плоскость α по некоторой прямой с. Так как р ⊥ α и q ⊥ α, то прямые р и q перпендикулярны прямой с. Получилось, что через точку А в плоскости β проходят две прямые р и q, перпендикулярные с. Из планиметрии известно, что это невозможно. Значит, через точку А проходит лишь одна прямая, перпендикулярная плоскости α.
9.2. Теорема о плоскости, перпендикулярной прямой
Изучение перпендикулярности прямой и плоскости мы завершим следующей теоремой:
Доказательство. Пусть заданы прямая а и точка А. Возможны два случая:
- Точка А лежит на прямой а (рис. 88, а). Этот случай уже рассматривали в п. 6.2. Напомним, что плоскостью, проходящей через точку А и перпендикулярной прямой а, является плоскость перпендикуляров к прямой а в точке А. Такая плоскость единственна.
- Точка А не лежит на прямой а (рис. 88, б). В этом случае проведём через точку А прямую Ъ, которая пересекает прямую а в некоторой точке Б и перпендикулярна прямой а. Через точку В проведём плоскость а, перпендикулярную прямой а. Она является плоскостью перпендикуляров к а в точке В> а потому содержит прямую Ь. Но тогда а проходит через точку А. Итак, мы построили плоскость α, проходящую через точку А и перпендикулярную прямой а. Такая плоскость единственна (докажите это сами).
Рис. 88
Вопросы для самоконтроля
- Существование каких объектов доказано в этом параграфе?
- Через точку А проведены плоскость α, перпендикулярная прямой а, и прямая Ь, перпендикулярная той же прямой. Как расположены прямая b и плоскость α?
На этом уроке мы рассмотрим и докажем теорему о единственной прямой, перпендикулярной плоскости.
В начале урока сформулируем изучаемую теорему о существовании единственной прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной к данной плоскости. Для ее доказательства вначале рассмотрим и докажем утверждение о существовании плоскости, перпендикулярной к данной прямой. После доказательства теоремы мы рассмотрим несколько задач-следствий на изучаемую тему.
Тема: Перпендикулярность прямой и плоскости
Урок: Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости
На этом уроке мы рассмотрим и докажем теорему о единственной прямой, перпендикулярной плоскости .
Утверждение
Через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная к данной прямой.
Доказательство (см. рис. 1)
Пусть нам дана прямая а и точка М . Докажем, что существует плоскость γ, которая проходит через точку М и которая перпендикулярна прямой а .
Через прямую а проведем плоскости α и β так, что точка М принадлежит плоскости α. Плоскости α и β пересекаются по прямой а . В плоскости α через точку М проведем перпендикуляр MN (или р ) к прямой а, . В плоскости β из точки N восстановим перпендикуляр q к прямой а . Прямые р и q пересекаются, пусть через них проходит плоскость γ. Получаем, что прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым р и q из плоскости γ. Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая а перпендикулярна плоскости γ.
Теорема
Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.
Доказательство .
Пусть дана плоскость α и точка М (см. рис. 2). Нужно доказать, что через точку М проходит единственная прямая с , перпендикулярная плоскости α .
Проведем прямую а в плоскости α (см. рис. 3). Согласно доказанному выше утверждению, через точку М можно провести плоскость γ перпендикулярную прямой а . Пусть прямая b - линия пересечения плоскостей α и γ.
В плоскости γ через точку М проведем прямую с , перпендикулярную прямой b .
Прямая с перпендикулярна b по построению, прямая с перпендикулярна а (так как прямая а перпендикулярна плоскости γ, а значит, и прямой с, лежащей в плоскости γ). Получаем, что прямая с перпендикулярна двум пересекающимся прямым из плоскости α. Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая с перпендикулярна плоскости α. Докажем, что такая прямая с единственная.
Предположим, что существует прямая с 1 , проходящая через точку М и перпендикулярная плоскости α. Получаем, что прямые с и с 1 перпендикулярны плоскости α. Значит, прямые с и с 1 параллельны. Но по построению прямые с и с 1 пересекаются в точке М . Получили противоречие. Значит, существует единственная прямая, проходящая через точку М и перпендикулярная плоскости α, что и требовалось доказать.
Докажите, что если две плоскости α и β перпендикулярны к прямой а , то они параллельны.
Доказательство:
Проведем прямую с параллельно прямой а . По лемме, если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая тоже пересекает плоскость. Прямая а пересекает плоскости α и β по условию. Значит прямая с пересекает плоскость α в некоторой точке А и плоскость β в точке В.
Прямая а перпендикулярна плоскостям α и β, а значит и параллельная ей прямая с перпендикулярна плоскостям α и β.
Предположим, что плоскости α и β пересекаются. Точка М - общая точка плоскостей α и β. Но тогда в треугольнике АМВ угол МАВ равен 90° и угол АВМ равен 90°, что невозможно. Значит, предположение о том, что плоскости α и β пересекаются было неверным. Значит, плоскости α и β параллельны.
Докажите, что через любую точку пространства проходит только одна плоскость, перпендикулярная данной прямой.
Доказательство :
Пусть дана прямая а и точка М . Согласно утверждению, существует плоскость γ, проходящая через точку М , перпендикулярная прямой а . Докажем ее единственность.
Предположим, что существует плоскость γ 1 , проходящая через точку М , перпендикулярная прямой а . Две плоскости γ и γ 1 перпендикулярны одной и той же прямой а, а значит, плоскости γ и γ 1 параллельны (как мы доказали в задаче 1). Но точка М принадлежит и плоскости γ и γ 1 . Получили противоречие. Значит, через любую точку пространства проходит только одна плоскость, перпендикулярная данной прямой а , что и требовалось доказать.
Итак, мы доказали теорему о прямой, перпендикулярной к плоскости. На следующем уроке мы рассмотрим решение задач с такими прямыми.
1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М. : Мнемозина, 2008. - 288 с. : ил.
2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. - М.: Дрофа, 1999. - 208 с.: ил.
3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. - 6-е издание, стереотип. - М. : Дрофа, 008. - 233 с. :ил.
1. Геометрия. 10-11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5-е издание, исправленное и дополненное - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил.
Задания 15, 16, 17 стр. 58
2. Верно ли утверждение, что прямая перпендикулярна лежащим в этой плоскости:
а) двум сторонам треугольника
б) двум сторонам трапеции
в) двум диаметрам круга.
3. Докажите, что через любую точку прямой в пространстве можно провести две различные перпендикулярные ей прямые.
4. Прямые а, b , с лежат в плоскости α. Прямая m перпендикулярна прямым а и b , но не перпендикулярна с . Каково взаимное расположение прямых а и b ?
Соглашение
Правила регистрации пользователей на сайте "ЗНАК КАЧЕСТВА":
Запрещается регистрация пользователей с никами подобными: 111111, 123456, йцукенб, lox и.т.п;
Запрещается повторно регистрироваться на сайте (создавать дубль-аккаунты);
Запрещается использовать чужие данные;
Запрещается использовать чужие e-mail адреса;
Правила поведения на сайте, форуме и в комментариях:
1.2. Публикация в анкете личных данных других пользователей.
1.3. Любые деструктивные действия по отношению к данному ресурсу (деструктивные скрипты, подбор паролей, нарушение системы безопасности и т.д.).
1.4. Использование в качестве никнейма нецензурных слов и выражений; выражений, нарушающие законы Российской Федерации, нормы этики и морали; слов и фраз, похожих на никнеймы администрации и модераторов.
4. Нарушения 2-й категории: Наказываются полным запретом на отправления любых видов сообщений сроком до 7 суток. 4.1.Размещение информации, подпадающей под действие Уголовного Кодекса РФ, Административного Кодекса РФ и противоречащей Конституции РФ.
4.2. Пропаганда в любой форме экстремизма, насилия, жестокости, фашизма, нацизма, терроризма, расизма; разжигание межнациональной, межрелигиозной и социальной розни.
4.3. Некорректное обсуждение работы и оскорбления в адрес авторов текстов и заметок, опубликованных на страницах "ЗНАК КАЧЕСТВА".
4.4. Угрозы в адрес участников форума.
4.5. Размещение заведомо ложной информации, клеветы и прочих сведений, порочащих честь и достоинство как пользователей, так и других людей.
4.6. Порнография в аватарах, сообщениях и цитатах, а также ссылки на порнографические изображения и ресурсы.
4.7. Открытое обсуждение действий администрации и модераторов.
4.8. Публичное обсуждение и оценка действующих правил в любой форме.
5.1. Мат и ненормативная лексика.
5.2. Провокации (личные выпады, личная дискредитация, формирование негативной эмоциональной реакции) и травля участников обсуждений (систематическое использование провокаций по отношению к одному или нескольким участникам).
5.3. Провоцирование пользователей на конфликт друг с другом.
5.4. Грубость и хамство по отношению к собеседникам.
5.5. Переход на личности и выяснение личных отношений на ветках форума.
5.6. Флуд (идентичные или бессодержательные сообщения).
5.7. Преднамеренное неправильное написание псевдонимов и имен других пользователей в оскорбительной форме.
5.8. Редактирование цитируемых сообщений, искажающее их смысл.
5.9. Публикация личной переписки без явно выраженного согласия собеседника.
5.11. Деструктивный троллинг - целенаправленное превращение обсуждения в перепалку.
6.1. Оверквотинг (избыточное цитирование) сообщений.
6.2. Использование шрифта красного цвета, предназначенного для корректировок и замечаний модераторов.
6.3. Продолжение обсуждения тем, закрытых модератором или администратором.
6.4. Создание тем, не несущих смыслового наполнения или являющихся провокационными по содержанию.
6.5. Создание заголовка темы или сообщения целиком или частично заглавными буквами или на иностранном языке. Исключение делается для заголовков постоянных тем и тем, открытых модераторами.
6.6. Создание подписи шрифтом большим, чем шрифт поста, и использование в подписи больше одного цвета палитры.
7. Санкции, применяемые к нарушителям Правил Форума
7.1. Временный или постоянный запрет на доступ к Форуму.
7.4. Удаление учетной записи.
7.5. Блокировка IP.
8. Примечания
8.1.Применение санкций модераторами и администрацией может производиться без объяснения причин.
8.2. В данные правила могут быть внесены изменения, о чем будет сообщено всем участникам сайта.
8.3. Пользователям запрещается использовать клонов в период времени, когда заблокирован основной ник. В данном случае клон блокируется бессрочно, а основной ник получит дополнительные сутки.
8.4 Сообщение, содержащее нецензурную лексику, может быть отредактировано модератором или администратором.
9. Администрация Администрация сайта "ЗНАК КАЧЕСТВА" оставляет за собой право удаления любых сообщений и тем без объяснения причин. Администрация сайта оставляет за собой право редактировать сообщения и профиль пользователя, если информация в них лишь частично нарушает правила форумов. Данные полномочия распространяются на модераторов и администраторов. Администрация сохраняет за собой право изменять или дополнять данные Правила по мере необходимости. Незнание правил не освобождает пользователя от ответственности за их нарушение. Администрация сайта не в состоянии проверять всю информацию, публикуемую пользователями. Все сообщения отображают лишь мнение автора и не могут быть использованы для оценки мнения всех участников форума в целом. Сообщения сотрудников сайта и модераторов являются выражением их личного мнения и могут не совпадать с мнением редакции и руководства сайта.
Закрепим понятие перпендикулярности прямой и плоскости конспектом урока. Предоставим общее определение, сформулируем и приведём доказательства теоремы и решим несколько задач на закрепление материала.
Из курса геометрии известно: две прямые считаются перпендикулярными, когда они пересекаются под углом 90 о.
Вконтакте
Одноклассники
Теоретическая часть
Переходя к исследованию характеристик пространственных фигур, будем применять новое понятие.
Определение:
прямая будет называться перпендикулярной плоскости, когда она перпендикулярна прямой на поверхности, произвольно проходящей через точку пересечения.
Иначе говоря, если отрезок «АВ» перпендикулярен плоскости α, тогда угол пересечения со всяким отрезком, проведённым по данной поверхности через «С» точку прохождения «АВ» через плоскость α, будет 90 о.
Из вышесказанного вытекает теорема о признаке перпендикулярности прямой и плоскости:
в случае если прямая, проведённая через плоскость, будет перпендикулярна двум прямым, проведённым на плоскости через точку пересечения, то она перпендикулярна целой плоскости.
Говоря другими словами, если на рисунке 1 углы ACD и ACE равны 90 о, то и угол ACF тоже будет 90 о. Смотреть рисунок 3.
Доказательство
По условиям теоремы линия «а» проведена перпендикулярно линиям d и e. Иначе говоря, углы ACD и ACE равны 90 о. Приводить доказательства будем, исходя из свойств равенства треугольников. Смотреть рисунок 3.
Через точку C прохождения линии a через плоскость α прочертим линию f в произвольном направлении. Приведём доказательства, что она будет перпендикулярна отрезку AB или угол ACF будет 90 о.
На прямой a отложим отрезки одинаковой длины AC и AB. На поверхности α проведём линию x в произвольном направлении и не проходящую через место пересечения в точке «С». Линия «х» должна пересекать линии e, d и f.
Соединим прямыми точки F, D и E c точками A и B.
Рассмотрим два треугольника ACE и BCE. По условиям построения:
- Имеются две одинаковые стороны AC и BC.
- У них дна общая сторона CE.
- Два равных угла ACE и BCE — по 90 о.
Следовательно, по условиям равенства треугольников, если имеем две равные стороны и одинаковый угол между ними, то эти треугольники равны. Из равенства треугольников следует, что стороны AE и BE равны.
Соответственно доказывается равенство треугольников ACD и BCD, иначе говоря, равенство сторон AD и BD.
Теперь рассмотрим два треугольника AED и BED. Из ранее доказанного равенства треугольников следует, что у этих фигур есть одинаковые стороны AE с BE и AD с BD. Одна сторона ED общая. Из условия равенства треугольников, определённых по трём сторонам, следует, что углы ADE и BDE равны.
Сумма углов ADE и ADF составляет 180 о. Сумма углов BDE и BDF также будет 180 о. Так как углы ADE и BDE равны, то и углы ADF и BDF равны.
Рассмотрим два треугольника ADF и BDF. Они имеют по две равных стороны AD и BD (доказано ранее), DF общую сторону и по равному углу между ними ADF и BDF. Следовательно, эти треугольники имеют одинаковые по длине стороны. То есть сторона BF имеет ту же длину, что и сторона AF.
Если рассматривать треугольник AFB, то он будет равнобедренный (AF равняется BF), а прямая FC является медианой, так как по условиям построения сторона AC равняется стороне BC. Следовательно, угол ACF равняется 90 о. Что и следовало доказать.
Важным следствием из приведённой теоремы будет утверждение:
если две параллельные пересекают плоскость и одна из них составляет угол 90 о, то и вторая походит через плоскость под углом 90 о.
По условиям задачи a и b являются параллельными. Смотреть рисунок 4. Линия a перпендикулярна поверхности α. Отсюда следует, что линия b будет также перпендикулярна поверхности α.
Для доказательства через две точки пересечения параллельных прямых с плоскостью проведём на поверхности прямую c . По теореме о прямой, перпендикулярной плоскости, угол DAB будет 90 о. Из свойств параллельных прямых следует, что угол ABF тоже будет 90 о. Следовательно, по определению прямая b будет перпендикулярна поверхности α.
Использование теоремы для решения задач
Для закрепления материала, используя основополагающие условия перпендикулярности прямой и плоскости, решим несколько задач.
Задача № 1
Условия. Из точки A построить перпендикулярную линию плоскости α. Смотреть рисунок 5.
На поверхности α проведём произвольную прямую b. Через прямую b и точку A построим поверхность β. Из точки A на линию b проведём отрезок AB. Из точки B на поверхности α проведём перпендикулярную линию c
.
Из точки A на линию с опустим перпендикуляр AC. Докажем, что эта линия будет перпендикулярна плоскости.
Для доказательства через точку C на поверхности α проведём линиюd, параллельную b, и через линию c и точку A построим плоскость. Линия AC перпендикулярна линии c по условию построения и перпендикулярна линии d, как следствие о двух параллельных линиях из теоремы о перпендикулярности, так как по условию линияb перпендикулярна поверхности γ.
Следовательно, по определению перпендикулярности линии и плоскости, построенный отрезок AC перпендикулярен поверхности α.
Задача № 2
Условия. Отрезок АВ перпендикулярен плоскости α. Треугольник BDF расположен на поверхности α и имеет следующие параметры:
- угол DBF будет 90 о
- сторона BD =12 см;
- сторона BF =16 см;
- BC - медиана.
Смотреть рисунок 6.
Найти длину отрезка АС, если АВ = 24 см.
Решение. По теореме Пифагора, гипотенуза или сторона DF равна квадратному корню из суммы квадратов катетов. Длина BD в квадрате равна 144 и, соответственно, BC в квадрате будет 256. В сумме 400; извлекая квадратный корень, получаем 20.
Медиана BC в прямоугольном треугольнике делит гипотенузу на две равные части и по длине равна этим отрезкам, то есть ВС = DC = CF = 10.
Снова используется теорема Пифагора, и получаем: гипотенуза C = 26, что является квадратным корнем из 675, суммы квадратов катетов 576 (АВ = 24 в квадрате) и 100 (ВС = 10 в квадрате).
Ответ: Длина отрезка АС равняется 26 см.
