Процесс распространения колебаний. Краткие теоретические сведения
КОЛЕБАНИЯ, ВОЛНЫ, ЗВУК
Гармоническими sin или cos.
1. Смещение (s)
2. Амплитуда (А) - максимальное смещение.
3. Период (Т)
4. Линейная частота (v) . v = 1/Т.
ω= 2πv .
6. Фаза колебания (φ) φ = ωt + φ 0
1. Свободные
2. Затухающие
3. Вынужденные
4. Автоколебаниями
s = Asin ωt
Тогда полная энергия:
продольной.
: λ=υT, λ=υv
: S = A sinωt
s = Asin (ωt-2πх/λ) 2πх/λ = φ 0
W = (mω 2 A 2)/2
ε = W 0 /V
где W o = εV
ε = n 0 W = n 0 mω 2 A 2 /2 , но n o m = p , тогда ε = (pω 2 A 2)/2
Ps=W 0 /t (Вт)
J=Ps/s = W 0 /st (Вт)
J=Ps/s (Вт/м 2)
логарифмической. J (с) =LgJ/J 0 (Вт/м 2)
звуковым давлением .
объективными субъективными.
Высота тона
тембра
Громкость Вебера-Фехнера :
E=kLg J/J 0
1. Аудиометрия
2. Аускультация
3. Перкуссия
Законы отражения
Среда, во всех точках которой скорость распространения света одинакова, называется оптически однородной средой. Границей двух сред называется поверхность, разделяющая две оптически неоднородные среды. Угол α между лучом падающим и перпендикуляром, восстановленным к границе двух сред в точке падения, называется углом падения. Угол β между лучом отраженным и перпендикуляром, вое-становленным к границе раздела двух сред в точке падения, называется углом отражения.
I закон: Луч падающий, перпендикуляр, восстановленный к границе раздела двух сред в точке падения, и луч отраженный лежат в одной плоскости.
II закон: Угол падения равен углу отражения: α = β
I закон: Луч падающий, перпендикуляр, восстановленный к границе раздела двух сред в точке падения, и преломленный луч лежат в одной плоскости.
I I закон: Отношение синуса угла падения к синусу угла преломления есть величина постоянная для данных двух сред и называется показателем преломления второй среды относительно первой:
sinα/sinγ = const = n 21
Линзы
Линзой называется прозрачное тело, ограниченное двумя сферическими поверхностями, и по показателю преломления отличающееся от окружающей среды.
Прямая, проходящая через центры сферических поверхностей, ограничивающих линзу, (SS") называется главной оптической осью.
Точка пересечения главной оптической оси с преломляющей плоскостью называется оптическим центром линзы (О). Любая прямая, проходящая через оптический центр линзы, называется оптической осью (АА). Лучи, параллельные главной оптической оси, после преломления в линзе собираются в одной точке, называемой главным фокусом линзы (F). Точка пересечения оптической оси с фокальной плоскостью называется побочным фокусом (F").
Такие линзы называются собирающими. Параллельный пучок лучей после преломления в линзе может рассеиваться, тогда в одной точке, называемой мнимым фокусом, соберутся продолжения этих лучей. Такие линзы называются рассеивающими .
Плоскость, перпендикулярная главной оптической оси и проходящая через главный фокус линзы, называется фокальной плоскостью.
В собирающих линзах изображение зависит от положения предмета. Если предмет находится между оптическим центром линзы и главным фокусом, то изображение будет мнимым, прямым и увеличенным.
Если предмет находится между фокусом и двойным фокусом, изображение - действительное, обратное, увеличенное.
Если предмет находится между двойным и тройным фокусом и далее, изображение - действительное, обратное, уменьшенное.
Рассеивающие линзы всегда дают мнимое, прямое и уменьшенное изображение.
Расстояние от оптического центра линзы до главного фокуса называется фокусным расстоянием F . Величина, обратная фокусному расстоянию, называется оптической силой линзы:D =1/F
Измеряется оптическая сила линзы в диоптриях (дптр). Одна диоптрия - это оптическая сила такой линзы, фокусное расстояние которой равно 1 м . У собирающих линз она положительна, у рассеивающих отрицательна. На практике, для определения фокусного расстояния и оптической силы линзы используют формулу тонкой линзы: D = 1/F = 1/d +1/f ,
где d - расстояние от предмета до линзы, f - расстояние от линзы до изображения.
Изображения, полученные с помощью одной линзы, как правило, отличаются от самого предмета. В этом случае говорят об искажении изображения. Сферическая аберрация возникает потому, что края линзы отклоняют лучи сильнее, чем центральная часть.
В результате, изображение светящейся точки на экране получается в виде расплывчатого пятна, а изображение протяженного предмета становится не резким, размытым. Для устранения сферической аберрации используют центрированные оптические системы, состоящие из собирающих и рассеивающих линз. Центрированной называется система линз, имеющих общую главную оптическую ось .
Хроматическая аберрация обусловлена дисперсией света, так как линзу можно представить в виде призмы. В этом случае фокусное расстояние для лучей различной длины волны оказывается неодинаковым.
Поэтому при освещении предмета сложным, например белым светом, точка на экране будет видна в виде окрашенного пятна, а изображение протяженного предмета будет также окрашенным и нерезким. Хроматическую аберрацию можно исключить, комбинируя собирающие и рассеивающие линзы, сделанные из стекол различных сортов, обладающих разными относительными дисперсиями. Такие системы линз называются ахроматами . Причиной астигматизма является неодинаковое преломление лучей в различных меридиональных плоскостях линзы. Различают два вида астигматизма. Первый, так называемый, астигматизм наклонных лучей, возникает в линзах, имеющих сферическую форму поверхности, но лучи падают на линзу под значительным углом к главной оптической оси. В этом случае лучи во взаимно перпендикулярных плоскостях преломляются неодинаково и точка на экране будет видна как линия, а у протяженного предмета искажается форма, например, квадрат будет виден как прямоугольник.
Второй вид астигматизма, правильный, возникает при отклонении поверхности линзы от сферической, когда по различным меридиональным плоскостям неодинаковый радиус кривизны, т.е. форма поверхности в этой плоскости не является сферической. Астигматизм наклонных лучей устраняется поворотом линзы к изображаемому предмету. Правильный астигматизм устраняется путем подбора радиусов кривизны и оптических сил преломляющих поверхностей. Это чаще всего цилиндрические линзы. Оптическую систему, исправленную кроме сферической и хроматической аберраций также и на астигматизм, называют анастигматом .
Оптическая система глаза
Глаз человека является своеобразным оптическим прибором, занимающим в оптике особое место. Это объясняется, во-первых, тем, что многие оптические инструменты рассчитаны на зрительное восприятие, во-вторых, глаз человеками животного), как усовершенствованная в процессе эволюции биологическая система, приносит некоторые идеи по конструированию и улучшению оптических систем. Глаз может быть представлен как центрированная оптическая система, образованная роговицей (Р), жидкостью передней камерой (К) и хрусталиком (X), ограниченная спереди воздушной средой, сзади - стекловидным телом. Главная оптическая ось (ОО) проходит через оптические центры роговицы и хрусталика. Кроме того, различают еще зрительную ось глаза (30), которая определяет направление наибольшей светочувствительности и проходит через центры хрусталика и желтого пятна (Ж). Угол между главной оптической и зрительной осями составляет около 5". Основное преломление света происходит на внешней границе роговицы, оптическая сила которой равна приблизительно 40 дптр, хрусталика - около 20 дптр, а всего глаза - около 60 дптр. Приспособление глаза к четкому видению различно удаленных предметов называют аккомодацией. У взрослого здорового человека при приближении предмета к глазу до расстояния 25 см аккомодация совершается без напряжения и благодаря привычке рассматривать предметы, находящиеся в руках, глаз чаще всего аккомодирует именно на это расстояние, называемое расстоянием наилучшего зрения. Для характеристики разрешающей способности глаза используют наименьший угол зрения, при котором человеческий глаз еще различает две точки предмета. В медицине разрешающую способность глаза оценивают остротой зрения. За норму остроты зрения принимается единица, в этом случае наименьший угол зрения равен 1 " .
КОЛЕБАНИЯ, ВОЛНЫ, ЗВУК
Любые отклонения физического тела или параметра его состояния, то в одну, то в другую сторону от положения равновесия называется колебательным движением или просто колебанием.
Колебательное движение называется периодическим, если значения физических величин, изменяющихся в процессе колебаний, повторяются через равные промежутки времени.
Гармоническими называются колебания, совершающиеся по закону sin или cos.
s = Asin (ωt +φ 0), s = Acos (ωt +φ 0)
Они совершаются под действием квазиупругих сил, т.е. сил, пропорциональных смещению
Основными характеристиками колебаний являются:
1. Смещение (s) - это расстояние, на которое отклоняется колеблющаяся система в данный момент времени, от положения равновесия.
2. Амплитуда (А) - максимальное смещение.
3. Период (Т) - время одного полного колебания.
4. Линейная частота (v) - это число колебаний в единицу времени, измеряется в Гц - это одно колебание в сек. v = 1/Т.
5. Циклическая или круговая частота (ω). Она связана с линейной частотой следующей зависимостью: ω= 2πv .
6. Фаза колебания (φ) характеризует состояние колеблющейся системы в любой момент времени: φ = ωt + φ 0 , φ 0 - начальная фаза колебания.
Колебательный процесс можно представить графически в виде развернутой или векторной диаграммы.
Развернутая диаграмма представляет собой график синусоиды или косинусоиды, по которому можно определить смещение колеблющейся системы в любой момент времени.
Однако, любое сложное колебание можно представить в виде суммы гармонических. Это положение определяет специальный метод диагностики -спектральный анализ.
Совокупность гармонических составляющих, на которые разлагается сложное колебание, называется гармоническим спектром этого колебания.
Колебания распределяются на следующие основные виды:
1. Свободные - это идеальные колебания, которые не существуют в природе, но помогают понять сущность других видов колебаний и определить свойства реальной колебательной системы. Они совершаются с собственной частотой, которая зависит только от свойств самой колеблющейся системы. Собственную частоту и период будем обозначать v 0 и Т о.
2. Затухающие - это колебания, амплитуда которых со временем уменьшается, а частота не меняется и близка к собственной. Энергия в систему подается один раз. Уменьшение амплитуды за единицу времени характеризуется коэффициентом затухания β= r / 2m, где r - коэффициент трения, m - масса колеблющейся системы. Уменьшение амплитуды за период характеризуется логарифмическим декрементом затухания δ = βТ. Логарифмический декремент затухания - это логарифм отношения двух соседних амплитуд: δ = lg (Аt / A t + T) .
3. Вынужденные - это колебания, которые совершаются под действием периодически изменяющейся внешней силы. Они совершаются с частотой вынуждающей силы. Явление резкого увеличения амплитуды колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте системы называется резонансом. Это увеличение будет зависеть от амплитуды вынуждающей силы, массы системы и коэффициента затухания.
4. Автоколебаниями называются незатухающие колебания, существующие в какой-либо системе при отсутствии переменного внешнего воздействия, а сами системы - автоколебательными. Амплитуда и частота автоколебаний зависят от свойств самой автоколебательной системы. Автоколебательная система состоит из трех основных элементов: 1) собственно колебательная система; 2) источник энергии; 3) механизм обратной связи. Ярким примером такой системы в биологии является сердце.
Определим энергию тела массой m, совершающего свободные гармонические колебания с амплитудой А и циклической частотой ω.
s = Asin ωt
Полная энергия складывается из потенциальной и кинетической энергии:
Wn=ks 2 /2=(kA 2 /2)sin 2 ωt, где k=mω
W=mυ 2 /2, учитывая, что υ=ds/dt=Aωcosωt
получим Wk=(mω 2 A2/2)*cos 2 ωt
Тогда полная энергия:
W=(mω 2 A 2 /2)(sin 2 ωt+cos 2 ωt)=(mω 2 A 2)/2
Процесс распространения колебаний в пространстве называется волновым движением или просто волной.
Известны два вида волн: механические и электромагнитные. Механические волны распространяются только в упругих средах. Механические волны делятся на два вида: поперечные и продольные.
Если колебания частиц совершаются перпендикулярно направлению распространения волны, то она называется поперечной.
Если, колебания частиц совпадают с направлением распространения волны, то она называется продольной.
Рассмотрим, основные характеристики волнового движения. К ним относятся:
1. Все параметры колебательного процесса (s, A, v, ω, Т, φ).
2. Дополнительные параметры, характеризующие только волновое движение:
а) Фазовая скорость (υ) - это скорость, с которой колебания распространяются в пространстве.
б) Длина волны (λ) - это наименьшее расстояние между двумя частицами волнового пространства, колеблющихся в одинаковых фазах или расстояние, на которое распространяется волна за время одного периода. Характеристики связаны между собой: λ=υT, λ=υv
Колебательное движение любой частицы волнового пространства определяется уравнением волны. Пусть в точке О колебания совершаются по закону: S = A sinωt
Тогда в произвольной точке С закон колебаний: s c = sinω (t-∆t), где ∆t=x/υ=x/λv, xc=Asin(2πv t-(2πvx/λx))
s = Asin (ωt-2πх/λ) - это уравнение волны. Оно определяет закон колебания в любо й точке волнового пространства 2πх/λ = φ 0 называется начальной фазой колебания в произвольной точке пространства.
3. Энергетические характеристики волны:
а. Энергия колебания одной частицы: W = (mω 2 A 2)/2
б. Энергия колебания всех частиц, содержащихся в единице объема волнового пространства, называется объемной плотностью энергии: ε = W 0 /V
где W o = εV есть полная энергия всех колеблющихся частиц в любом объеме.
Если n 0 - концентрация частиц, то ε = n 0 W = n 0 mω 2 A 2 /2 , но n o m = p , тогда ε = (pω 2 A 2)/2
Энергия колебания постоянно передается другим частицам по направлению распространения волны.
Величина, численно равная среднему значению энергии, переносимой волной в единицу времени через некоторую поверхность, перпендикулярную направлению распространения волны, называется потоком энергии через эту поверхность.
Ps=W 0 /t (Вт)
Поток энергии, приходящийся на единицу поверхности, называется плотностью потока энергии или интенсивностью волны.
J=Ps/s = W 0 /st (Вт)
Частным случаем механических волн являются звуковые волны:
Звуковыми волнами называются колебания частиц, распространяющихся в упругих средах в виде продольных волн с частотой от 16 до 20000 Гц.
Для звуковых волн справедливы те же характеристики, что и для любого волнового процесса, однако имеется и некоторая специфика.
1. Интенсивность звуковой волны называют силой звука.J=Ps/s (Вт/м 2)
Для этой величины приняты специальные единицы измерения- Белы (Б) и децибелы (дцБ). Шкала силы звука, выраженная в Б или дцБ, называется логарифмической. Для перевода из системы СИ в логарифмическую шкалу используется следующая формула: J (с) =LgJ/J 0 (Вт/м 2)
где J o = 10 -12 Вт/м 2 - некоторая пороговая интенсивность.
2. Для описания звуковых волн используется величина, которая называется звуковым давлением .
Звуковым или акустическим давлением называется добавочное давление (избыточное над средним давлением окружающей среды) в местах наибольшего сгущения частиц в звуковой волне.
В системе СИ оно измеряется в Па, а внесистемной единицей является 1 акустический бар = 10 -1 Па.
3. Важное значение имеет так же форма колебаний частиц в звуковой волне, которая определяется гармоническим спектром звуковых колебаний (∆v).
Все перечисленные физические характеристики звука называются объективными , т.е. не зависящими от нашего восприятия. Они определяются с помощью физических приборов. Наш слуховой аппарат способен дифференцировать (различать) звуки по высоте тона, тембру и громкости. Эти характеристики слухового ощущения называются субъективными. Изменение в восприятии звука на слух всегда связано с изменением физических параметров звуковой волны.
Высота тона определяется главным образом частотой колебаний в звуковой волне и незначительно зависит от силы звука. Чем больше частота, тем выше тон звука. В этом отношении диапазон звуков, воспринимаемых слуховым аппаратом, делится на октавы: 1- (16-32) Гц; 2 -(32-64)Гц; 3-(64-128) Гц; и т.д., всего 10 октав.
Если колебания частиц в звуковой волне гармонические, то такой тон звука называется простым или чистым. Такие звуки дают камертон и звуковой генератор.
Если колебания не гармонические, но периодические, то такой тон звука называется сложным. .
Если сложные звуковые колебания не периодически меняют свою интенсивность, частоту и фазу, то такой звук принято называть шумом.
Сложные тона одной и той же высоты, в которых форма колебаний различна, по разному воспринимаются человеком (например, одна и та же нота на различных музыкальных инструментах). Это различие в восприятии носит название тембра звука. Он определяется спектром частот гармонических колебаний, из которых состоит сложный звук.
Громкость восприятия звука зависит главным образом от силы звука, а так же от частоты. Эта зависимость определяется психофизическим законом Вебера-Фехнера :
При возрастании силы звука в геометрической прогрессии (J,J 2 , J 3 ,...) ощущение громкости на одной и той же частоте увеличивается в арифметической прогрессии (Е, 2Е, ЗЕ,...).
E=kLg J/J 0
где k - коэффициент, зависящий от частоты звука. Громкость измеряется также как и сила звука в Белах (Б) и децибелах (дцБ). ДцБ громкости называется фоном (Ф) в отличии от дцБ силы звука. Условно считают, что для частоты 1000 Гц, шкалы громкости и силы звука полностью совпадают, т.е. k = 1.
Использование звуковых методов в диагностике
1. Аудиометрия - метод измерения остроты слуха по восприятию стандартизированных по частоте и интенсивности звуков.
2. Аускультация - выслушивание звуков, возникающих при работе различных органов, (сердца, легких, кровеносных сосудов и др.)
3. Перкуссия - выслушивание звучания отдельных частей тела при их простукивании.
Ультразвук - это процесс распространения, колебаний в уп-пугой среде в виде продольных волн с частотой свыше 20 кГц.
Ультразвук получают с помощью специальных аппаратов, основанных на явлениях магнитострикции - при низких частотах и обратном пьезоэлектрическом эффекте - при высоких частотах.
Волны - процесс распространения колебаний в пространстве. Обусловлен наличием связей Механизм – возмущение распростр. Упругие (механ.) волны Между частицами среды действуют силы упругой связи 1. Перпендикулярно направлению распространения волны – поперечные волны. 2. 2. Вдоль направления распространения волны – продольные. Поперечные когда упругая деформация сдвига. Продольные – упругая деформация сжатия и растяжения.
Бегущая волна Предположим поперечное сечение стержня не деформируется. Оно колеблется перпендикулярно (сдвиг) или продольно (растяж – сжат.) Z=0 Z (Затухание не учитывается) Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется поверхностью волны Z
Длина волны Расстояние, на которое распространяется волна за один период колебаний частиц. Подставим (5) в (4)=> Уравнение бегущей волны Из (1) и (6) отставание по фазе точки с координатой z Разность фаз - это кратчайшее расстояние между точками, колеблющимися в одинаковых фазах
1 2 Графики (семейство) x=x(z) Для поперечной B дают: величину, знак смещения и дают конфигурацию частиц в момент t Для продольной только величину и знак для обратной B
Относительная деформация и напряжение в среде при распространении волны. Если z смещ. на x а z+ z на x+ x, то абсолютная деформация отр. z равна относительная: x, а В пределе Относительная деформация (сдвига-сжатия) Модуль упругости Напряжение (сдвига, напряжениясжатия)
Закон Гука - механическая мера внутренних сил при деформации материала. -модуль упругости k Модуль сдвига G (попер.) Модуль Юнга Е (прод.) Составляющие деформации в данной точке являются линейными и однородными функциями составляющих напряжения.
Надо найти равнодействующую F сил f 1 и f 2 и массу участка Тогда находится ускорение уч.
Выражаем протяжении через и приращение деформации на разлог. деф. В ряд Тейлора вблизи z Ускорение, приобретаемое стержнем Уравнение Даламбера
Резюме: 1. Единственное предположение 2. Уравнение Даламбера справедливо для распространения движения любого характера в среде с линейной мех. характеристикой и в случае квазиупругих волн. 3. Волновому уравнению удовлетворяют бегущие волны 4. а также вообще периодический сигнал, смещение в котором есть Скорость распространения упругих волн
Уравнение (3. 1) удобно для расчета V при известных и Скорость распространения упругой волны в твёрдом теле Где: Е – модуль Юнга G – модуль сдвига. Скорость распространения упругой волны в жидкости В жидкости волны продольные Коэф. Сжимаемости жидкости
Скорость распространения упругой волны в газе Теплообмен между сгущ и разряж не успевает – процесс распр упругой волны - адиабатический Для расчёта V надо найти E исходя из 3. 10 и уравнения адиабаты Из уравнения Клапейрона-Менделеева: Похоже на среднеквадр скорость молекул в газе
Потенциальная энергия Упругий образец длиной l растягивается силой f. Во всём образце одно и то же напряжённое состояние - напряжение S – поперечное сечение. Под действием силы f образуется удлинение Удельная энергия, запасённая в единице объёма – плотность энергии Работа растяжения упругого тела=полной потенциальной энергии упругой деформации, накопленной в теле (4. 2) полученное при однородном напряжённом состоянии пригодно и для неоднородного (бегущие волны), когда V настолько мало, что напряжённое состояние в различных его точках можно считать одинаковым. (4. 2) даёт мгновенные значения
Кинетическая энергия волны Рассматривается плоская волна, распространяющаяся в направлении z вдоль тонкого стержня сечением S. В участке стержня Sdz заключена энергия движения частиц в распространяющейся волне. , то можно считать, что все частицы, отр. dz, движутся с одинаковыми скоростями Мгновенное значение плотности кинетической энергии, выраженное через значение (мгновенное) колебательной скорости
Pпот=Pкин Для любой точки бегущей волны мгновенные значения плотности потенциальной и кинетической энергии равны другу. Докажем: Мгновенное значение плотности полной энергии
Явная зависимость мгновенного значения плотности энергии от координат и времени См (4. 5) Согласно (4. 6) при распространении В происходит перенос энергии. Скорость переноса энергии зависит от скорости передачи смещения, колебательной скор. частиц и деформации в среде, вследствие некоторой связи энергии с этими величинами. Частота колебания Р= удвоенной частоте колебаний
Плотность потока энергии (вектор Умова) Энергия через данное сечение за единицу времени Плотность потока-поток энергии за единицу времени на единицу площади, перпендикулярно направлению переноса
Волновое (акустическое сопротивление среды) Уравнение позволяет установить связь напряжения среде при прохождении волны, со скоростью, возникающего в колеблющейся частицы. Коэффициент пропорциональности, связывающий значение напряжения в данной точке среды с мгновенным значением скорости этой точки, называется волновым (звуковым или акустическим) сопротивлением среды Волновое сопротивление – весьма важная характеристика среды: при переходе волны из одной среды в другую или при отражении волны от границы двух сред, значение коэффициентов отражения и проникновения целиком определяются отношением волновых сопротивлений граничащих сред
Вещество Скорость распространения волн, Плотность, Акустическое сопротивление, Воздух Вода Медь Ртуть Резина Из (4) следует, что отношение совершающих гармоническое колебание напряжения в среде и колебательной скорости частиц остаётся неизменным во времени: Неизменность отношения мгновенных значений и имеет место только в плоской волне. Здесь всегда справедливы следующие отношения для амплитудных и действующих значений этих величин:
В изотропной среде на расстоянии r от источника - обратить внимание на следующее: 1. Колебания каждой точки отстают по фазе от колебаний предыдущей точки. Тогда разность фаз между ними: 2. Поверхность волны (Г. М. Т. , колеблющихся в одинаковых фазах) определяется (2) и является сферической поверхностью. Такие волны называются сферическими.
3. Лучи (направления распространения колебательной энергии) в изотропной среде перпендикулярны поверхности волны и лучи образуют два ортогональных семейства луч поверхностьволны 4. Длина сферической волны – кратчайшее расстояние (по лучу) между двумя точками, колеблющимися в одинаковых фазах. 5. Амплитуда колебаний точек среды – убывающая функция r, т. к колебание, по мере удаления от источника, распространяется на всё большее количество точек интенсивность волны (плотность потока энергии) уменьшается с удалением от источника.
Зависимость амплитуды колебаний от расстояния Если в среде нет поглощения: А из (3) следует тогда – амплитуда колебаний частиц обратно пропорциональна расстоянию от источника
примем уcловие: наименьшее расстояние от источника колебаний, на котором источник можно считать точечным и волну сферической амплитуда на этом расстоянии тогда:
При распространении сферической волны между колебаниями напряжения в среде (пропорциональной ему относительной деформации) и скорости частиц есть разность фаз. Колебание напряжения может быть представлено как сумма двух колебаний: Одного в той же фазе, что и скорость и другого, сдвинутого по фазе на 900
Рассмотрим волновой режим в системе, линейные размеры которой равны небольшому числу длин волн. В этом случае практически всегда наблюдаем не падающую и отражённую волны, а результат их суперпозиции Стоячая волна – результат суперпозиции падающей и отражённой волн Среда - струна, воздух - резонатор
Волна распространяется в направлении оси z Примем условие: имеет место полное отражение, т. е. отражение колебательная энергия не передаётся в соседнюю среду При этом амплитуда отражённой волны = амплитуде падающей Суперпозиция этих двух волн даёт: Sin α+ Sin β = 2 sin((α+β)/2)cos((α-β)/2) Полученное уравнение x=x(t, z) описывает новый волновой режим - стоячую волну
Рассмотрим графики зависимости x=x(z) M N M Видим, что две соседние точки колеблются в одинаковых фазах, но с различными амплитудами N Амплитуда частиц в стоячей волне зависит от координат частиц A=A(z)
В отличие от бегущей волны, в которой амплитуды колебаний всех точек одинаковы, а фазы различны в стоячей волне фазы соседних точек одинаковы, а различие их колебаний определяется различием в амплитуде Для сравнения – графики бегущей и стоячей волн для близких моментов времени узел
Характерные особенности стоячих волн 1. Амплитуда колебаний частиц изменяется по косинусоидальному закону (см(4)). Имеются точки, в которых амплитуда равна нулю. Такие точки называются узлами. Имеются точки, в которых амплитуда достигает наибольшего значения Эти точки называются пучностями. . 2. Расстояние между двумя соседними узлами равно половине длины волны. Расстояние между соседними пучностями также равно половине длины волны. Расстояние между соседними узлом и пучностью равно четверти длины волны
3. Колебания точек, заключённых между двумя узлами, происходят в одинаковых фазах. Фаза колебаний скачком меняется на обратную при переходе через узел 4. Колебательная скорость: Узел скоростей имеет место там же, где и узел смещений.
5. Стоячая волна напряжений: 5. 1 Координаты узлов напряжения совпадают с координатами пучностей смещения и скорости 5. 2 Волна напряжений отразилась с изменением фазы на противоположную (отражение см. выше)
6. Стоячая волна не переносит энергии. Действительно, мгновенное значение плотности потока энергии зависит от. произведения σx. Из предыдущего рис. Видно, что мгновенное значение этого произведения изменяет знак каждые четверть волны. Среднее значение потока энергии J равно нулю ψ В стоячей волне ψ = 90 о и J = 0 При выводе (4) амплитуды падающей и отражённой волн были одинаковыми (при полном отражении) При частичном переходе энергии максимальная амплитуда а не, как в (5) Такая волна переносит энергию, передаваемую в соседнюю среду.
1. Звуковые колебания и их распространение Звук – это продольные упругие колебания возд ухо мозг ощущение звука. Воспринимается от 16 Гц до 20000 Гц. связано с физиологией человека. f>20000 Гц – ультразвук; f
Звуковые впечатления: - высота – зависит от частоты - тембр – обертоны - громкость Ля: 1 я 2 я 440 880 3 я 1760 Гц. Порог слышимости – min интенсивность волны, вызывающая звуковое ощущение Наиболее слышимы 1000 -4000 Гц порог слыш-ти При других f он лежит выше
Порог болевого ощущения: интенс Субъективная характеристика – уровень громкости L – лог отн инт данного звука I к некот I 0 – исходной. Единица уровня громкости – бел (Б); Б/10 - децибел Относ интенс I 1 и I 2 можно выразить в д. Б 20 д. Б - уменьш в 100 30 д. Б - уменьш в 1000 40 д. Б - уменьш в 10000 и т. д Шёпот – 30 д. Б Крик – 80 д. Б 10 102 103 104 105
2. Скорость распространения упругих волн в газе. Скорость распространения упр волн в сплошной среде По определению для упругого стержня Модуль Юнга Плотность среды Для объёма объёмн деформ Полаг беск. малые d. P и d. V. Увел d. P уменьш d. V (отриц) Перепишем (2) Звук колеб происх так быстро, что теплов обмен между сгущ и разреж произ не успевает – т. е. происх адиабатически
(австриец Христиан Доплер (1803 -1853)) Эффект Доплера – изменение частоты распространяющихся в среде колебаний, возникающее при движении приёмника или источника колебаний относительно этой среды. V – скорость распространяющихся колебаний в среде U – скорость источника относительно среды v – скорость приёмника относительно среды сближение п и (+) (V, U) удаление п и (-) (V, U)
Src="http://present5.com/presentation/-29884334_94992875/image-50.jpg" alt="II. Приёмник движется относительно среды со скоростью v; источник неподвижен; U=0 V v v>0"> II. Приёмник движется относительно среды со скоростью v; источник неподвижен; U=0 V v v>0 приближается П (U=0) И v 0 , то мимо приёмника за единицу времени пройдёт большее число волн. Волны идут мимо прибора со скоростью: Т. е. Частота воспринятых колебаний больше числа испущенных в 2) Если v
III. Источник движется, приёмник покоится (U=U; v=0) И U П (v=0) Т. к. V зависит от среды то за Т колеб распростр на, независимо от движ источника; 1. U>0 Но! за это время источник пройдёт путь u. T В результате воспринятая изменится, т. к. теперь (при u>0) 2. при U
IV. Источник и приёмник перемещаются одновременно (U=0; v=0) Вследствие движ источника Вследствие движ приёмника Вследствие обеих причин: Если v и U направить под углом, то следует брать их составляющие на прямую, соединяющую источник и приёмник.
Интерференция волн Если от источника колебаний волны доходят до приёмника двумя различными путями, то приёмник будет колебаться под одновременным воздействием обеих волн будет иметь место сложение колебаний одинаковых частот. При одинаковых направлениях слагаемых колебаний амплитуда и энергия результирующего колебания: При сложении одинаково направленных колебаний равных частот энергия результирующего колебания не равна сумме энергий слагаемых колебаний, совершающихся порознь Интерференция волн – усиление или ослабление энергии результирующего колебания в зависимости от разности фаз слагаемых колебаний При сложении взаимно перпендикулярных колебаний интерференции нет, т. к. при любых энергия
Приёмник под воздействием одной первой волны совершал бы колебания, следующие уравнению: a под воздействием второй волны – уравнению Разность фаз колебаний приёмника под воздействием одного и другого колебаний: Разность расстояний, которые проходят волны от источников до приёмника, называется разностью хода волн Интерференционное усиление, согласно (1), имеет место при условии отсюда
Аналогично, для интерференционного ослабления необходимо: Таким образом: Интерференционное усиление имеет место, если разность хода лучей равна целому числу длин волн или чётному числу длин полуволн Интерференционное ослабление имеет место, если разность хода лучей равна нечётному числу длин полуволн
Отражение волн Проникновение волн через границу Условие: волна распространяется вдоль оси z, перпендикулярной границе раздела двух сред. Волновое сопротивление первой среды (в ней распространяются подающая и отражённая волны) Волновое сопротивление второй среды (в ней распространяется проникшая через границу раздела волна) Отношение волновых сопротивлений сред Амплитуды колебаний частиц падающей, отражённой и преломлённой волн соответственно Амплитуды колебательной скорости частиц Амплитуды напряжений среды, вызванных падающей, отражённой и прошедшей через границу волн соответственно Коэффициент отражения Коэффициент проникновения
Так как площадь, на которую падает волна, равна площади, от которой она отражается, отношение потоков энергии можно заменить отношением плотностей потока энергии (векторов Умова) Так как падающая и отражённая волны распространяются в одной и той же среде, то: Падающая и проникшая через границу волны распространяются в разных средах, поэтому:
Падающая волна Отражённая волна Волна, проникшая во вторую среду Волна смещений Волна колебатель ных скоростей Волна напряжений Следует обратить внимание на появление дополнительных (по сравнению с падающей волной) фазовых углов и, учитывающих возможное изменение фазы волны при отражении и проникновении во вторую среду. На границе раздела двух сред выполняется условие непрерывности: в природе не бывает бесконечно больших перепадов смещений, колебательных скоростей частиц и напряжений
Примем на границе z=0, тогда: Потому, что волна напряжений должна отразиться от границы в фазе, противоположной волне скоростей Если в (10) подставить знак +, то оно окажется несовместимым с (9) Из (10) после подстановки следует: По (9) скобки в л. ч. и п. ч. уравнения (11) равны, поэтому что не соответствует условию, Из (9) и (10), справедливых в любой момент времени, можно получить:
Используя введённые обозначения, уравнения (12) – (15) можно представить в виде: Система уравнений даёт возможность определить
1. определение Вычитая (19) из (17) получаем: Для определения знака сложим (16) и (18) Волна проникает во вторую среду без изменения фазы, т. е. в отношении фазы преломления волна является продолжением предыдущей.
1. определение Вычитая (18) из (16) получаем: 1. При отражении от среды с меньшим акустическим сопротивлением волна смещений и волна колебательных скоростей частиц не изменяет фазу; волна напряжений изменяет фазу на 2. При отражении от среды с большим акустическим сопротивлением смещений и волна колебательных скоростей частиц изменяют фазу на напряжений не изменяет фазу волна; волна
1. Определение R Выразив из (16) и подставив его в (18), получим: Коэффициенты отражения от границы данных двух сред одинаковы как для волны, падающей на границу из первой среды, так и для волны, падающей на границу из второй среды 1. Определение T Выразив из (16) и подставив его в (18), получим: По закону сохранения энергии поток энергии падающей волны равен сумме потоков энергии отражённой и проникшей во вторую среду волн. Поэтому должно иметь место равенство:
Принцип Гюйгенса Каждая точка поверхности волны должна рассматриваться как самостоятельный источник элементарных сферических волн Поверхность волны в момент времени Способ нахождения положения и формы поверхности волны через промежуток времени после начального момента: Из каждой точки поверхности волны, заданной в момент времени, надо в сторону направления распространения провести полусферы радиусом Общая огибающая всех этих полусфер – искомая поверхность волны. Поверхность волны в момент времени;
1. Преломление плоской волны через плоскую границу раздела двух сред Из рассмотрения треугольников ABD и AED: Закон преломления: Отношение sin угла падения к sin угла преломления для данных двух сред – величина постоянная, равная отношению скорости распространения волн в первой среде к скорости распространения волн во второй среде. - относительный показатель преломления второй среды относительно первой
В случае упругих волн: В случае электромагнитных волн: Показатель преломления среды относительно вакуума, где принимает вид: Для всех не ферромагнитных сред магнитная проницаемость практически равна единице, поэтому: При переходе волны из одной среды в другую, частота колебаний не изменяется. Так как скорости распространения в различных средах различны, то длина волны при переходе из одной среды в другую изменяется.
Максвелл, Джеймс Клерк Д. К. Максвелл (1831 -1879) - великий английский учёный, создатель теории электромагнетизма. В 1860- 1865 Максвелл создал теорию электромагнитного поля, которую сформулировал в виде системы уравнений (уравнения Максвелла). Уравнения Максвелла составляют основу как электротехники и радиотехники, так и теории любых электромагнитных явлений в любых средах. В 1861 г. он обнаружил, что свет - это разновидность электромагнитных волн. Максвелл также создал Создал кинетическую теорию газов (1859 г.) и вывел соотношение для распределения цастиц газов по скоростям, получившего название распределения Максвелла.
Обобщение законов электромагнетизма. Уравнения МАКСВЕЛЛА (1867 г.) 1. Экспериментальные законы. I. Закон Кулона Теорема Гаусса II. Закон сохранения заряда Суммарный заряд электрически нейтральной системы остаётся постоянным III. Закон Ампера Сила Лоренца (магн) Закон Фарадея IV. Био-Саварра. Лапласа? Теорема о циркуляции магн. поля
Приложение к ур-ниям Максвелла в дифференциальной форме Теоремы Стокса и Остроградского-Гаусса Т. Стокса Т. Остроградского Гаусса где
Электромагнитные волны Шкала ЭМВ Частота. Г ц Название диапазона Гамма-лучи Рентген Ультрафиолетовое излучение Видимый свет Инфракрасное излучение Микроволны Телевидение и ЧМ Радиовещание Радиоволны Длина волны, см
Электромагнитные волны Волновое уравнение ЭМВ (Даламбера) Уравнения Максвелла для плоско – поляризованной волны сводятся: Уравнение Даламбера ЭМВ
Электромагнитные волны Скорость ЭМВ Ранее для упругих колебаний было показано: Для бегущей волны v – фазовая скорость. Сравнивая (7) и (5), (6) видим:
Электромагнитные волны В случае плоскополяризованой монохроматической волны ур-ям (5), (6) соотв решение: Задача: установить связь между E и H по фазе и величине Задача Сгласно (4) с и н ф а з н о с т ь Тождеств. вып. (12) (т. е. при любых коорд и в любой момент) Возможно только при В бегущей ЭМВ Е и Н колеблются в одинаковых фазах
Глава 2. ВОЛНЫ
Волновой процесс. Виды волн
Твердые, жидкие и газообразные тела можно рассматривать как среды, состоящие из отдельных частиц, взаимодействующих между собой. Если возбудить колебания частиц в локальной области среды, то за счет сил взаимодействия возникнут вынужденные колебания соседних частиц, что, в свою очередь, вызовет колебания связанных с ними частиц и т.д. Таким образом, колебания возбужденные в какой-либо точке среды, будут распространяться в ней с некоторой скоростью, зависящей от свойств среды. Чем дальше расположена частица от источника колебаний, тем позднее она начнет колебательное движение . Иначе говоря, фаза колебаний частиц среды зависит от расстояния до источника.
Процесс распространения колебаний в некоторой среде называется волновым процессом или волной.
Частицы среды, в которой распространяется волна, совершают колебательное движение около своих положений равновесия. При распространении волны частицы среды не переносятся волной. Вместе с волной от частицы к частице среды передаются колебательное движение и его энергия. Таким образом, основным свойством волн независимо от их природы является перенос энергии без переноса вещества .
В природе и технике встречаются следующие виды волн: гравитационно-капиллярные волны (волны на поверхности жидкости), упругие волны (распространение механических возмущений в упругой среде) и электромагнитные (распространение в среде электромагнитных возмущений).
Упругие волны бывают продольными и поперечными . В продольных волнах частицы среды колеблются в направлении распространения волны , в поперечных - в плоскостях, перпендикулярных направлению распространения волны (рис. 2.1.1, а; б).
Процесс распространения колебаний в упругой среде называется волной. Расстояние, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебания, называется длиной волны. Длина волны связана с периодом колебания частиц T и скоростью распространения волны υ соотношением
λ = υT или λ = υ /ν,
где ν = 1/T – частота колебания частиц среды.
Если две волны одинаковой частоты и амплитуды распространяются навстречу друг другу, то в результате их наложения при определенных условиях может возникнуть стоячая волна. В среде, где установились стоячие волны, колебания частиц происходят с различной амплитудой. В определенных точках среды амплитуда колебания равна нулю, эти точки называются узлами; в других точках амплитуда равна сумме амплитуд складываемых колебаний, такие точки называются пучностями. Расстояние между двумя соседними узлами (или пучностями) равно l/2, где l – длина бегущей волны (рис. 1).
Стоячая волна может образоваться при наложении падающей и отраженной волн. При этом, если отражение происходит от среды во много раз более плотной, чем среда, в которой распространяется волна, то в месте
Рис. 1 отражения смещение частиц равно нулю, то есть образу
ется узел. Если волна отражается от среды менее плотной, то из-за слабого задерживающего действия частиц второй cреды на границе возникают колебания с удвоенной амплитудой, то есть образуется пучность. В том случае, когда плотности сред мало отличаются друг от друга, наблюдается частичное отражение волн от границы раздела двух сред.
Рассмотрим стоячие волны, которые образуются в трубе с воздухом длиной l , закрытой с двух сторон (рис. 1, а ). Через небольшое отверстие в одном конце трубы при помощи динамика возбудим колебания звуковой частоты. Тогда в воздухе внутри трубы распространится звуковая волна, которая отразится от другого закрытого конца и побежит обратно. Казалось бы, что должна возникнуть стоячая волна при любой частоте колебаний. Однако, в трубе, закрытой с двух сторон, на концах должны образовываться узлы. Это условие выполняется, если в трубе укладывается половина длины бегущей волны: l = l/2 (рис. 1, б ). Здесь амплитуды смещения частиц воздуха отложены по вертикали. Сплошной линией изображена бегущая волна, пунктиром – отраженная. В трубе возможна и такая стоячая волна, где имеется и еще один узел, при этом укладываются две половины длины волны: l = 2l/2 (рис. 1, в ). Следующая стоячая волна возникает, когда длина бегущей волны удовлетворяет условию l = 3λ/2 (рис. 1, г ). Таким образом, в трубе, закрытой с двух сторон, стоячая волна образуется в тех случаях, когда на длине трубы укладывается целое число половин длин волн:
где m = 1, 2, 3. Выразив l из (1) и подставив в формулу ν = υ /λ,
Полученная формула выражает собственные частоты колебаний воздушного столба в трубе длиной l , где m = 1 соответствует основному тону, m = 2, 3 – обертонам. В общем случае колебание столба воздуха может быть представлено как наложение собственных колебаний.
