Как построить гиперболу черчение. Как построить параболу? Что такое парабола? Как решаются квадратные уравнения? Построение графика квадратичной функции

Урок: как построить параболу или квадратичную функцию?

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Парабола — это график функции описанный формулой ax 2 +bx+c=0.
Чтобы построить параболу нужно следовать простому алгоритму действий:

1) Формула параболы y=ax 2 +bx+c ,
если а>0 то ветви параболы направленны вверх ,
а то ветви параболы направлены вниз .
Свободный член c эта точке пересекается параболы с осью OY;

2) , ее находят по формуле x=(-b)/2a , найденный x подставляем в уравнение параболы и находим y ;

3) Нули функции или по другому точки пересечения параболы с осью OX они еще называются корнями уравнения. Чтобы найти корни мы уравнение приравниваем к 0 ax 2 +bx+c=0 ;

Виды уравнений:

a) Полное квадратное уравнение имеет вид ax 2 +bx+c=0 и решается по дискриминанту;
b) Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +bx=0. Чтобы его решить нужно вынести х за скобки, потом каждый множитель приравнять к 0:
ax 2 +bx=0,
х(ax+b)=0,
х=0 и ax+b=0;
c)Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +c=0. Чтобы его решить нужно неизвестные перенести в одну сторону, а известные в другую. x =±√(c/a);

4) Найти несколько дополнительных точек для построения функции.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

И так теперь на примере разберем все по действиям:
Пример №1:
y=x 2 +4x+3
c=3 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=3. Ветви параболы смотрят вверх так как а=1 1>0.
a=1 b=4 c=3 x=(-b)/2a=(-4)/(2*1)=-2 y= (-2) 2 +4*(-2)+3=4-8+3=-1 вершина находится в точке (-2;-1)
Найдем корни уравнения x 2 +4x+3=0
По дискриминанту находим корни
a=1 b=4 c=3
D=b 2 -4ac=16-12=4
x=(-b±√(D))/2a
x 1 =(-4+2)/2=-1
x 2 =(-4-2)/2=-3

Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=-2

х -4 -3 -1 0
у 3 0 0 3

Подставляем вместо х в уравнение y=x 2 +4x+3 значения
y=(-4) 2 +4*(-4)+3=16-16+3=3
y=(-3) 2 +4*(-3)+3=9-12+3=0
y=(-1) 2 +4*(-1)+3=1-4+3=0
y=(0) 2 +4*(0)+3=0-0+3=3
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=-2

Пример №2:
y=-x 2 +4x
c=0 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=0. Ветви параболы смотрят вниз так как а=-1 -1 Найдем корни уравнения -x 2 +4x=0
Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +bx=0. Чтобы его решить нужно вынести х за скобки, потом каждый множитель приравнять к 0.
х(-x+4)=0, х=0 и x=4.

Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=2
х 0 1 3 4
у 0 3 3 0
Подставляем вместо х в уравнение y=-x 2 +4x значения
y=0 2 +4*0=0
y=-(1) 2 +4*1=-1+4=3
y=-(3) 2 +4*3=-9+13=3
y=-(4) 2 +4*4=-16+16=0
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=2

Пример №3
y=x 2 -4
c=4 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=4. Ветви параболы смотрят вверх так как а=1 1>0.
a=1 b=0 c=-4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0) 2 -4=-4 вершина находится в точке (0;-4)
Найдем корни уравнения x 2 -4=0
Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +c=0. Чтобы его решить нужно неизвестные перенести в одну сторону, а известные в другую. x =±√(c/a)
x 2 =4
x 1 =2
x 2 =-2

Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=0
х -2 -1 1 2
у 0 -3 -3 0
Подставляем вместо х в уравнение y= x 2 -4 значения
y=(-2) 2 -4=4-4=0
y=(-1) 2 -4=1-4=-3
y=1 2 -4=1-4=-3
y=2 2 -4=4-4=0
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=0

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE , чтобы быть в курсе всех новинок и готовится с нами к экзаменам.

Геометрические кривые имеют большое практическое применение в машиностроительной и строительной технике при конструировании деталей машин, исследовании процессов в машинах и т. п.

Они разделяются на циркульные и лекальные. К первым относятся завитки, овалы и т. п.; ко вторым -эллипсы, гиперболы, спирали, рулеты, синусоидальные кривые и т. п.

Рассмотрим построение этих кривых.

А. Циркульные кривые

Завитки. Завиток представляет собой кривую, приближающуюся по форме к спирали, вычерченной дугами окружностей. Завитки бывают двух-, трёх-, четырёх- и многоцентровые.

Построение двухцентрового завитка. Для построения двухцентрового завитка (фиг. 78) задаёмся расстоянием с между центрами 1-2.

Через центры 1 и 2 проводим прямую, и из точки 1 описываем полуокружность радиуса с до пересечения с продолжением той же пря­мой в точке p. Затем из центра 2, описываем полуокружность радиуса 2c до пересечения с прямой qs в точке t. Далее снова переходим в центр 7, откуда строим полуокружность радиуса Зс до пересечения с прямой в точке q и т. д.

Построение трёхцентрового завитка. Для построения завитка, имею­щего три центра 1> 2 и 3 (фиг. 79), находящихся на равных расстоя­ниях с один от другого, необходимо предварительно построить равно­сторонний треугольник 7, 2, 3 и продолжить его стороны так, как это показано на фигуре.

Из центра 7 проводим дугу З-к радиусом 1-3, равным с, до пере­сечения с продолжением стороны 2-1. Затем из центра 2 описываем дугу кр радиусом, равным 2c, до пересечения с продолжением стороны 3-2 в точке p, после чего из центра 3 проводим дугу pq радиусом, равным Зс, до пересечения с продолжением стороны 1-3 в точке q. После этого возвращаемся в центр 1 и продолжаем построение в такой же последовательности, каждый раз увеличивая радиус дуги на величину с.

Построение многоцентровых завитков выполняется аналогично по­строению, приведённому на фиг. 80 и 81.

Овалы (коробовые кривые) . Овалом называется замкнутая кривая, состоящая из сопряжённых дуг окружностей разных радиусов. Овалы по форме напоминают эллипсы. Поэтому в практике в тех случаях, когда требуется построить эллипс, нередко вычерчивают овал, так как построение его значительно проще. Приводим несколько способов по­строения овалов.

Построение овала по заданной большой оси AB делением её на три равные части (фиг. 82). Делим заданную ось AB на три равные части и описываем из точек деления 7 и 2, как из центров, окружности радиусом А-1, получим точки 3 и 4.

Центрами сопряжения дуг овала будут точки 7, 2, 3 и 4. Для нахождения точек сопряжения проводим из центра 3 прямые через точки 7 и 2, а из центра 4-прямые 4-1 и 4-2. Найденные точки а, b, с и e будут точками сопряжения дуг овала.

Из центров 7 и 2 проводим дуги радиусом 1-а, а из центров З-4-радиусом З-а.

Построение овала по заданной большой оси AB при условии, что расстояние между центрами O-1 и 0-2=1/4 AB (фиг. 83). Через центр овала О проводим малую ось перпендикулярно AB и из того же центра радиусом 0-1=1/20A описываем окружность. Пересечение последней с малой осью определит центры 3 и 4. Дальнейшее построение анало­гично предыдущему.

Построение овала по заданной малой оси СЕ (фиг. 84). Через середину О заданной малой оси СЕ проводим перпендикулярно к ней большую ось овала. Из центра О описываем окружность радиусом ОС. Пересечение её с большой осью определит центры 7 и 2 дуг сопряже­ния аb и се. Центрами дуг aCc и bЕе соответственно будут точки E и C.

Построение овала по двум заданным осям AB и CD (фиг. 85). Соединяем концы осей прямой CB и из центра О описываем дугу радиуса OB до пересечения с малой осью в точке B". Затем из точки С,

как из центра, проводим дугу радиуса CB" (разность полуосей) до пере­сечения с прямой CB в точке В".

Через середину отрезка B"B проводим перпендикуляр и продолжаем его до пересечения с полуосями OB и OD в точках 7 и 2, которые будут центрами сопряжения дуг аb и ас. Центры 3 и 4 определяются как точки, симметричные центрам 7 и 2.

Б. Лекальные кривые

Архимедова спираль (фиг. 86). Архимедова спираль представляет собою плоскую кривую, образованную точкой, равномерно движущейся по радиусу-вектору, который в то же время равномерно вращается вокруг неподвижной точки О.

Точки архимедовой спирали подчинены уравнению p=Rф, где p-pa- диус-вектор; ф-угол вращения; R-радиус окружности.

Пусть даны: центр О и радиус R окружности, ограничивающей кривую. Для построения по этим данным спирали разделим окружность и радиус на одно и то же число равных частей, например на 12.

Через точки деления радиуса проводим 12 концентрических окруж­ностей, а через точки деления окружности 12 радиусов. Затем нумеруем окружности и радиусы, как показано на фиг. 86. Точки пересечения одноимённых концентрических окружностей и радиусов принадлежат кривой архимедовой спирали. Соединение точек О; 1", 2", 3" и т. д. производится при помощи лекала. По архимедовой спирали строится профиль фасонной фрезы.

Логарифмическая спираль (фиг. 87). Логарифмическую спираль можно построить подобно спирали Архимеда как траекторию точки, перемещающейся по радиусу-вектору, в то время как сам радиус-вектор вращается вокруг неподвижной точки.

При этом, если угол поворота радиуса-вектора изменяется в ариф­метической прогрессии, то радиус-вектор изменяется в геометрической прогрессии.

Особенностью логарифмической спирали является то, что угол, образованный касательной k любой точке кривой с радиусом-вектором, есть величина постоянная. Этим свойством обладает также окружность, у которой этот угол составляет 45°. Следовательно, при одинаковых углах между радиус-векторами хорды, соединяющие концы их, обра­зуют с соответственными радиусами равные углы.

Рассмотрим построение логарифмической спирали на примере. Пусть дан полюс О и отрезок прямой, равный OA, причём точка А принадлежит спирали. Требуется построить логарифмическую спираль (фиг. 87). Через полюс О проводим под равными углами друг к другу радиусы-векторы. В нашем примере они проведены под углом 45°. Из точки А под углом к радиусу-вектору OA строим хорду A1. Угол должен быть задан как параметр, характеризующий данную спираль; в этом примере а = 60°. Построенная хорда пересечёт смежный радиус-вектор в точке 1, также принадлежащей спирали. Проведя из точки 1 хорду под тем же углом, получим на радиусе-векторе 02 точку 2, принадлежащую этой спирали. Следующие точки находятся таким же образом. Получив точки первого оборота спирали, строим дальше в таком же порядке точки, принадле­жащие второму, третьему и т. д. оборотам. Число оборотов для этой спирали бесконечно. Полюс О в этом случае является асимптотической точкой.

Логарифмическая спираль применяется в технике для затылования зубцов фасонных фрез, в частности зуборезных фрез.

Эллипс. Если прямой круговой конус рассечь наклонной плоско­стью так, чтобы она пересекла все его образующие, то в плоскости сечения получится замкнутая кривая-эллипс; углы наклона секущей плоскости и образующей конуса к плоскости основания его будут иметь зависимость а < p (фиг. 88).

Эллипсом называется замкнутая плоская кривая, сумма расстояний каждой точки которой до двух точек (симметрично расположенных на большой оси относительно центра кривой), называемых фокусами, есть величина постоянная, равная большой оси эллипса (фиг. 89), т. е.

F 1 M + F 2 M = F 1 K+ F 2 K =AB.

Точки эллипса подчинены уравнению x 2 /a 2 +y 2 /b 2 =1, где а-малая по­луось, b-большая полуось.

Существует несколько способов построения эллипса. Укажем на основные.

Построим эллипс по его главным осям-большой KL и малой - СE (фиг. 90).

Проводим из центра О произвольно ряд лучей, которые пересекут большую окружность в точках 1,3 и т. д., а малую-в точках 2,4 и т.д. Через точки пересечения на большой окружности проводим прямые, па­раллельные малой оси эллипса, а через точки пересечения на малой окруж­ности-прямые, параллельные большой оси эллипса; полученные в пересе­чении точки а, b, С и т. д. принадлежат искомой кривой.

Рассмотрим эллипс как прямоугольную проекцию окружности. Два диаметра эллипса, являющиеся проекцией двух взаимно перпендикуляр­ных диаметров окружности, называются сопряжёнными диаметрами. Обратим внимание на одно свойство отрезков сторон параллелограмма, построенного на сопряжённых диаметрах эллипса. Рассмотрим окруж­ность с описанным вокруг

неё квадратом (фиг. 91). Проведём через произвольную точку E хорду BE и секущую AM.

Треугольники OKB и AHМ равны. У них OB =AH, а кут НАМ равен куту KBO.

Следовательно, OK=HM. Так как OC=GH, OK/OC=HM/CH,

отрезок HМ составляет такую же часть отрезка НС, как отрезок OK отрезка ОС.

Как известно, прямоугольное проектирование не нарушит этих отношений (фиг. 92): квадрат спроектируется в общем случае в парал­лелограмм, окружность-в эллипс, точка E на окружности-в точку e на эллипсе, причём

OK/OC=hm/hc=HM/HC

На основании этого имеем способ построения точек эллипса по данной паре сопряжённых диаметров.

Сначала рассмотрим частный случай, когда сопряжённые диаметры KL и ЕМ пересекаются под прямым углом (фиг. 93). Построим прямоуголь­ник по точкам К, Е, L и M и разделим большую сторону и малую ось на произвольное число равных частей, например на восемь. Через конеч­ные точки большой оси К и L проводим ряд лучей, соединяющих эти точки с точками 1", 2", 3" и т. д. (деления стороны прямоугольника), и через точки 1, 2, 3 (деления малой полуоси). Лучи проводим до их взаимного пересечения. Полученные при этом точки a, b, с и т. д. при­надлежат искомой кривой.

Рассмотрим теперь общий случай, когда угол между сопряжёнными диаметрами не прямой и эллипс надо вписать в параллелограмм. Задачу эту решим для случая построения диметрической проекции окружности (фиг. 94).

Проводим горизонтальную прямую. Берём на ней точку О. Строим в точке О сопряжённые диаметры эллипса KL и ЕМ: больший-под углом 7° к горизонтальной прямой, малый-под углом 41°. По большой оси откладываем LK = d, а по малой EM = 0,5LK = 0,5 d. Проведя через концевые точки К и L, E и M прямые, параллельные осям, полу­чим параллелограмм.

Делим большую сторону параллелограмма и малую ось на равное число частей, например на восемь. Из точек К и L через точки деле­ния проводим лучи; пересечение лучей К-1" и L- 1 дадут точку пере­сечения а; пересечение лучей K-2" и L-2-точку b и т. д.

Парабола. Если прямой круговой конус рассечь плоскостью, параллельной какой-нибудь образующей (a = ?), то в сечении будет кривая- парабола (фиг. 95).

Парабола находит применение в машиностроении (очертаниях крон­штейнов, фермах, зубчатых колёсах, коренных подшипниках, сопряже­ниях рёбер стоек и подвесках подшипников), в оптике (линзы, прожек­торные зеркала и т. п.).

На фиг. 97 приведён способ построения параболы, основанный на определённых свойствах кривой.

Проводим взаимно перпендикулярные прямые TT и AM и принимаем одну из них-ТТ за директрису, а другую AМ-за ось параболы.На прямой AM откладываем отрезок AF равный P-выбранному нами расстоянию от фокуса до директрисы. Делим отрезок AF пополам. Середина его- точка О будет вершиной параболы, а точка,F-фокусом.

Затем проводим через фокус F прямую, параллельную TT, и опи­сываем из точки F дугу радиусом AF до пересечения с проведённой прямой; полученные точки С и E принадлежат параболе; AF=p; CE = CF + FE, но CF = EF=p, следовательно, CE = 2p.

Так же могут быть получены и другие точки параболы.

Возьмём, например, на оси произвольную точку 1 и проведём через неё вертикальную прямую. Сделав затем засечки на этой прямой дугой радиуса Л / из F, получим точки И и К, которые также принадлежат параболе.

Решим другую задачу. Пусть требуется через точку e провести ка­сательную к параболе (фиг. 97). Для этого опускаем из точки e на ось параболы перпендикуляр ea. Откладываем On = Oa и соединяем точки n и e прямой, которая и будет искомой касательной.

В тех случаях, когда точка n выходит за пределы чертежа и про­вести прямую не представляется возможным, можно провести через вер­шину О касательную и на ней отложить отрезок OB, равный половине ae, и точку В соединить с точкой e. В этом случае прямая Be будет искомой касательной в точке e. Касательная к вершине параболы делит пополам любую касательную от точки её касания до точки пересечения с осью параболы.

Построим параболу по данным: вершине Л и одной из точек кри­вой-K (фиг. 98), Для построения промежуточных точек проводим из точек Л и К две взаимно перпендикулярные прямые до встречи в точке С и делим КС и АС на одинаковое число равных частей. Через точки деления на АС проводим прямые, параллельные CK, а из точки A-лучи к точкам деления на CK. Пересечение параллельных прямых с одноимён­ными лучами определит точки, принадлежащие параболе.

На фиг. 99 приведено построение параболы по двум симметричным точкам А и В и точке К, заданной на оси параболы.

Строим по заданным точкам А, К и В треугольник AKB. Стороны AK и KB делим на одинаковое число равных частей, и точки деления сое­диняем следующим образом: нижнюю точку 1 прямой AK соединяем с верхней точкой 1 прямой KB, точку 2 прямой АК - с точкой 2 прямой KB и т. д. Проведённая таким образом сеть прямых образует систему каса­тельных, определяющих форму кри­вой; огибающая этих касательных яв­ляется параболой.

Пользуясь этим важным свойством касательной, в баллистике определяют наивысшую точку полёга пули или снаряда, теоретически принимая траек­торию их полёта за параболу (фиг. 99).

Дальность полёта определяется хордой AB параболы, а угол вылета- углом наклона касательной AK к хорде AB.

Кубическая парабола (фиг. 100). Чтобы построить кубическую пара­болу, проходящую через точку Л, проводим прямую AB параллельно заданной оси ОХ, затем строим на ней, как на диаметре, полуокруж­ность. Разделив прямые OB и AB на одинаковое число равных частей, в нашем примере на пять, получим на прямой OB точки 1, 2, 3 и 4, а на прямой AB-точки а, b, с, d, которые переносим на полуокружность

(точки а 1 , b 1 , с 1 , d 1). Опускаем на прямую AB перпендикуляры a 1 I, b 1 II, c 1 III и т. д., а из точек 1, 2, 3, 4 проводим прямые, параллельные ОХ. Точки I, II, III и т. д. соединяем с точкой О лучами. Пересечения лучей с прямыми дадут соответственно точки / 0 , 2 0 , 3 0 , 4 0 , принадлежащие кубической параболе. Найденные точки соединяем плавной кривой.

Гипербола. Если прямой круговой конус рассечь плоскостью, про­ходящей параллельно двум его образующим так, чтобы угол? стал больше угла?, то фигурой сечения будет плоская кривая-гипербола (фиг. 101). Гиперболой называется кривая, все точки которой обладают таким свойством: разность расстояний от каждой точки гиперболы до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная расстоянию между вершинами гиперболы FK - F 1 K = AB=2a (фиг. 102).

Точки гиперболы подчинены урав­нению

x 2 /a 2 - y 2 /h 2 =1

где а - половина расстояния между вершинами гиперболы;

с - половина расстояния между её фокусами.

Гипербола имеет две оси: дей­ствительную ось x и мнимую-y. При построении гиперболы пользу­ются асимптотами, внутри которых размещаются ветви гиперболы.

Асимптотами называются две прямые, проходящие через центр и касающиеся к гиперболе в бесконечности.

Если асимптоты образуют между собою угол 90°, то гиперболу называют равнобокой. Равнобокая гипербола имеет практическое примене­ние при различных расчётах.

Построение равнобокой гиперболы (фиг. 103). Пусть даны асимп­тоты ОХ и ОУ и точка Я, принадлежащая ветви гиперболы. Проведём через точку P перпендикуляры MP и PC. На PC возьмём несколько произвольных точек 1, 2, 3 и 4 У проведём через них прямые, параллель­ные OX; затем через эти же точки проведём лучи, выходящие из точки О, до пересечения с прямой МК, проведённой через точку P- параллельно асимптоте ОХ. Из полученных точек пересечения опускаем перпендикуляры на соответ­ствующие прямые, прове­дённые параллельно асимп­тоте OX, через точки 1, 2, 3 и 4. Точки пересечения а, b и e будут принадле­жать искомой кривой.

Построение гиперболы по вершинам А и В и фо­кусам F" и F" (фиг. 104). Для построения асимптот гиперболы описываем из О радиусом, равным OF", ок­ружность, а через вершины А и В проводим прямые, па­раллельные мнимой оси ОУ. Точки пересечения прове­дённых прямых с окруж­ностью определят направле­ние асимптот. Для получения отдельных точек, через которые пройдёт кривая, возьмём несколько произвольных точек, расположенных на дей­ствительной оси гиперболы справа от фокуса F", и обозначим их циф­рами 1, 2, 3 и 4. Расстояние между ними увеличиваем (произвольно) по мере их удаления от F". Принимая расстояния 1 - A и 1-В за радиусы- векторы, описываем из F" и F"" взаимно пересекающиеся дуги, точки пересечения которых принадлежат кривой. Действительно, разнoсть ра­диусов-векторов является для всех рассматриваемых точек (1, 2, 3 и 4) величиной постоянной, равной расстоянию между вершинами гиперболы. Таким образом, радиусами-векторами для точки 4 будут отрезки А-4 и В-4, разность которых равна AB, что и соответствует основному свойству кривой. Построение точек для левой ветви гиперболы выпол­няется так же, как и для правой.

Если прямые, проведён­ные через вершины А и В параллельно мнимой оси, пе­ресекут окружность в рав­ноудалённых от осей точ­ках, то асимптоты будут взаимно перпендикулярны, а гипербола - равнобокой.

Циклоидальные кривые (рулеты) . Циклоидальными кривыми называют траекто­рию точки круга, перекаты­вающегося без скольжения по прямой или неподвиж­ному кругу. К этим кривым относят циклоиду, гипоци­клоиду и эпициклоиду. Все они имеют практическое применение в ма­шиностроении. Так, они используются при построении профилей зубцов цилиндрических, конических и винтовых зубчатых колёс.

Точка, описывающая при своём движении циклоидальную кривую, называется производящей. Окружность или прямая, по которым проис­ходит перекатывание, называется направляющей.

Циклоида. Циклоидой называется кривая, которую описывает точка круга, катящегося без скольжения по прямой линии.

Пусть образующий круг диаметра d с взятой на нём производящей точкой К перекатывается по направляющей TT (фйг. 105). Точка К, перекатываясь вместе с кругом, опишет полный цикл кривой и снова придёт в соприкосновение с прямой ТТ. Расстояние между двумя по­следовательными положениями К на прямой TT соответствует полному

обороту кpyra и равно?d. Чтобы определить промежуточные положе­ния производящей точки в каждый момент, разделим прямую О 0 -0 12 на 12 равных частей. Точки O l ,0 2 , 0 3 и т. д. представляют последова­тельные положения центра образующего круга. Разделим и окружность на такое же число равных частей. Через точки деления проведём, па­раллельно направляющей, линии возвышения производящей точки.

Нетрудно представить, что при качении круга по направляющей расстоя­ние между любой из этих точек и соответственным положением точки К остаётся неизменным.

Пусть центр окружности О переместится в О 1 . Образующий круг

пройдёт путь, равный длине дуги К-1= ?d/12. Точка К перейдёт в поло­жение 1" на пересечении окружности, проведённой из О 1 с первой ли­нией возвышения производящей точки 1-11".

Если центр окружности переместится в точку 0 2 , то производящая точка займёт положение точки 2" на пересечении окружности, прове­дённой из 0 2} со второй линией возвышения 2-10" и т. д.

Плавная кривая, соединяющая полученные точки, носит название нормальной циклоиды. Кроме нормальной, существуют циклоиды растя­нутые и сжатые.

Если взять точку К внутри круга, то такая точка опишет растяну­тую циклоиду. Пример построения растянутой циклоиды дан на фиг. 106.

Здесь производящая точка К находится на том же радиусе, что и производящая точка нормальной циклоиды. Чтобы определить отдель­ные положения движущейся точки К, достаточно определить направле­ние радиусов, на которых располагается точка К в моменты перемеще­ния круга из центра О в О 1 0 2 0 3 и т. д.

На каждом из этих радиусов необходимо отложить от точек 0 1 , 0 2 , 0 3 и т. д. отрезки, равные ОК. Полученная при этом система точек определит форму кривой-растянутой циклоиды.

Пусть центр круга переместится в точку 0 4 , тогда производящая точка нормальной циклоиды станет в точку 4". Соединив точки 0 4 и 4" получим направление радиуса. Откладывая на радиусе 0 4 -4" из точки 0 4 отрезок, равный OK, определим точку К 4 , принадлежащую растяну­той циклоиде. Если точку К приближать к центру круга, то циклоиды таких производящих точек всё больше и больше будут растягиваться, приближаясь к линии 0 - 0 12 , и, наконец, обратятся в прямую, когда точка К будет взята в центре круга О.

Если точку К удалять за пределы круга, то производящая точка будет описывать петли и форма циклоиды будет сжатой.

Подобный пример представлен на фиг. 107. Из чертежа видно, что способ построения сжатой циклоиды аналогичен построению растянутой циклоиды.

Эпициклоида . Эпициклоидой называется кривая, которую описывает точка круга, перекатывающегося без скольжения по направляющему кругу.

Пусть образующий круг диаметра d перекатывается по направляющему кругу диа­метра D. Пусть точка а, ле­жащая на радиусе Oa, будет производящей (фиг. 108).

Построение точек эпици­клоиды подобно построению циклоиды. При качении произ­водящая точка опишет цикл кривой и после одного обо­рота круга переместится из точки а в точку 12, удалив­шись от первоначального по­ложения по дуге направляю­щего круга на?d.

В практике откладывают дугу путём построения в цен­тре О угла а, равного 360° d/D.

Для определения проме­жуточных положений произво­дящей точки делят образую­щий круг и дугу направляю­щего круга, соответственно углу?, на 12 равных частей. Затем из цен­тра О 0 через точки деления образующего круга проводят концентри­ческие дуги возвышения производящей точки, а через точки деления направляющего круга-лучи.

Пересечение лучей с линией центров определит двенадцать после­довательных положений центра образующей круга. Как и в циклоиде, при перемещении образующего круга на 1/12 цикла, произойдёт переме­щение его центра из О в О 1 которому будет соответствовать первое положение производящей точки на дуге возвышения, отмеченное точ­кой 1. Если центр образующего круга переместится ещё на 1 / 12 своего пути и станет в точку 0 2 , то образующий круг пройдёт путь а-2, рав­ный длине дуги (2/12)?d направляющему кругу, а производящая точка займёт положение, отмеченное точкой 2"-на пересечении дуги, прове­дённой из центра 0 2 радиусом d/2, со второй дугой возвышения.

Производя такие же построения для последующих положений центра, определяют соответствующие положения производящей точки, а сле­довательно, и кривую-эпициклоиду.

Если образующий круг будет перемещаться и дальше по направ­ляющему, то производящая точка опишет ещё одну эпициклоиду.

В рассмотренном примере приведено построение эпициклоиды для соотношения диаметров образующего и направляющего кругов, равных

d/D=1/2. В этом случае производящая точка а после второго цикла

займёт своё исходное положение.

Это отношение показывает, что производящая точка а придёт в ис­ходное положение на направляющем круге, когда производящий круг диаметра d сделает два оборота и обернётся вокруг направляющего круга один раз. Производящая точка а опишет при этом две эпицикло­иды и совпадёт с направляющим кругом в двух диаметрально противо­положных точках.

Предположим, что отношение d/D=2/3 .

В этом случае производящая точка а придёт в исходное положение после того, как производящий круг диаметра d, сделав три оборота, обернётся вокруг направляющего круга диаметра D два раза. Произво­дящая точка а опишет три эпициклоиды и на пути перемещения совпа­дёт с направляющим кругом в трёх равноудалённых точках.

Когда отношение d/D есть целое число, например d/D=5/1, то произ­водящая точка а займёт исходное положение на направляющем круге после того, как производящий круг диаметра, сделав один оборот, обер­нётся вокруг направляющего круга диаметра d пять раз. Производящая точка опишет при этом одну эпициклоиду и, перемещаясь, будет иметь с направляющим кругом только одну точку совмещения, соответствующую исходному её положению.

В практике встречаются отношения d/D, составляющие неправильную

дробь, как, например, 2/3, 5/3, 7/3 и т. д.

Из рассмотренных примеров видно, что отношение d/D можно пред­ставить в виде равенства d/D=n/n 1 , где n 1 -число оборотов образующего

круга по направляющему или число эпициклоид, описанных производя­щей точкой, либо число касаний этой точки с направляющим кругом до совмещения её во всех этих случаях с начальным положением. Одно­временно n показывает число перекатываний образующего круга по направляющему (до момента совмещения производящей точки с её начальным положением).

Гипоциклоида . Гипоциклоидой называется кривая, которую опи­сывает производящая точка, лежащая на образующем круге, катя­щемся без скольжения, внутри другого круга, называемого направляющим.

Построение точек гипоциклоиды производится тем же способом, что и эпициклоиды (фиг. 109).

Эвольвента (развёртка круга) . Эвольвентой называется кривая, кото­рая описывается любой точкой прямой, катящейся пo кругу без сколь­жения.

Образующей здесь является прямая, а направляющей-круг. Если гибкую нить, обёртывающую круг диаметром d (фиг. 110), разматывать с некоторым постоянным натяжением, то конец её, обозначенный точ­кой 1, опишет кривую 1, /, //, III ... VIII, называемую эвольвентой или развёрткой.

Отрезки нити 2-1, 3-II, 4-III и т. д.-касательные к точкам 2, 3, 4..., равны соответственным дугам 2-1, 3-1, 4-1 и т. д. раз­вёртываемого круга.

Для построения эвольвенты разделим данную окружность на равное число частей, например восемь. Из точек деления проводим касательные перпендикулярно к радиусам. На прямой 1-VIII откладываем отрезок,

равный?d, и делим его на 8 равных частей. На промежуточных каса­тельных откладываем соответственные отрезки выпрямленных дуг. Так, например, на касательной к точке 2 откладываем отрезок, равный 1-1", и получим точку I. Отложив на касательной в точке 3 отрезок, равный 1-2", получим точку II и т. д.

Эвольвента применяется для вычерчивания профилей зубцов зубча­тых колёс.

Кардиоида. Если через точку, взятую на окружности, провести во всех направлениях лучи, пересекающие эту окружность, и из каждой точки пересечения отложить вдоль каждого луча в обе стороны отрезки, равные диаметру этой окружности, то получим точки кривой, называе­мой кардиоидой. Для построения кардиоиды возьмём на окружности диаметра d точку К (фиг. 111) и проведём под произвольными углами a 1 , a 2 т. д. лучи K1, K2, КЗ.

Из точек 1, 2, 3 и т. д. откладываем ня лучах в обе стороны отрезки, равные диаметру d. По одну сторону от точки К получим точки /, //, III и т. д., по другую-/", //", К, принадлежащие кардиоиде.

В машиностроении кардиоида применяется при изготовлении кулач­ков и других деталей.

Синусоида. Для построения синусоиды (фиг. 112) делим окружность на произвольное число равных частей, в данном примере на 12. На

такое же число частей делим прямую АВ, величина которой равна длине окружности?d. В точках деления прямой AB по перпендикулярам к ней откладываем полухорды 1к, 2m и т. д., пропорциональные синусам центральных углов к01, m02 и т. д. Полученные точки 1, 2, 3 и т. д. соединяем по лекалу плавной кривой. Синусоида может быть сжатой или растянутой. В первом случае AB?d.

Синусоидальными кривыми пользуются при исследовании гармони­ческих колебательных процессов, происходящих в электрических маши­нах, аппаратах, для построения кулачков и т. п.

Политропа . Политропой называется кривая, выраженная уравнением ух n =c, где c - постоянная величина. Для построения политропы по её показателю n и точке P, принадлежащей этой кривой (фиг. 113), прово­дим прямую OA под произвольным углом а к оси ОХ и прямую OB под углом? к оси OY. Угол? определяется из уравнения: 1+tg?= (l+ tg?) 2 . Затем через точку P проводим прямые параллельно осям ОХ и OY до пересечения с OA в точке а и с OY в точке е. Потом из то­чек а и e проводим к ОХ и ОУ под углом 45° прямые, засекающие точки а" и e". Далее через полученные точки проводим прямые парал­лельно осям до их взаимного пересечения в точке 1, которая и будет принадлежать политропе.

Чтобы построить точку 2, отмечаем на пересечении прямой e"l с осью OY точку К. Из точки К проводим параллельно прямой ee" прямую KK" из a"-прямую a"m параллельно Ра, а из m-прямую mm" параллельно aa". Проведя затем из точек m" и к" прямые, параллельные осям OY и OX, получим на их пересечении точку 2. Остальные точки политропы строятся по аналогии.

Политропа применяется при исследовании тепловых двигателей (построение индикаторной диаграммы); при этом показатель степени n при­нимается в пределах 1,1 -1,4. При n= 1 кривая становится равнобокой гиперболой.

Построение лекальных кривых осуществляют следующим образом:

Сначала определяют точки принадлежащие кривой а затем соединяют их с помощью лекала. К лекальным кривым относят так называемые конические сечения парабола, гипербола, эллипс, получаемые в результате сечения кругового конуса плоскостью, эвольвента, синусоида и другие

1. Построение эллипса.

2. Фокус эллипса

3. Построение параболы

6.Вычерчивание лекальных кривых.

Эллипс это коническое сечение которое относится к так называемым лекальным кривым. Эллипс, гипербола и парабола получаются в результате сечения кругового конуса плоскостью, синусоида, эвольвента и другие кривые.

Рисунок 41. Пересечение конуса плоскостью по эллипсу-(а) и эллипс-(б).

Для того чтобы построить лекальные кривые(парабола,эллипс,гипербола),определяют точки которые принадлежат кривой а затем все точки соединяются с помощью лекала. В случае когда рассекают поверхность кругового конуса плоскостью наклонной -Р,таким образом чтобы наклонная плоскость пересекла все образующие кругового конуса, то в самой плоскости сечения образуется эллипс.(Смотри рисунок 41, а).

Эллипс это плоская замкнутая кривая, у которой сумма расстояний каждой из ее точек-М до двух заданных точек F1 и F2,-является постоянной величиной. Эта постоянная величина равняется большой оси эллипса MF1 + MF2=AB.малая ось эллипса CD а также большая ось AB являются взаимно перпендикулярны и одна ось делит другую по полам.

Рисунок 42. Построение эллипса по осям


Таким образом оси делят кривую эллипса на четыре попарно симметричных равных частях. Если из концов малой оси CD, как из центров описать дугу окружности радиусом,равным половине большой оси эллипса R=OA=OB,то она пересечет ее в точках F1 и F2,которые называются фокусами.

На рисунке 42 приводится пример построения эллипса по его осям.На заданных осях AB и CD,как на диаметрах строим две концентрические окружности с центром в точке О. Делим на произвольное число частей большую окружность и соединяем полученные точки прямыми с центром О.

Из точек пересечения 1; 2; 3; 4; со вспомогательными окружностями проводим отрезки горизонтальных и вертикальных прямых до их взаимного пересечения в точках E,F,K,M, которые принадлежат эллипсу. Далее с помощью лекала соединяются построенные точки плавной кривой и получают в результате эллипс.

Построение лекальных кривых,парабола

Рисунок 43. Пересечение конуса плоскостью по параболе. Построение параболы по фокусу и директрисе.

Если рассечь наклонной плоскостью Р круговой конус,параллельной одной из его образующих,то в плоскости сечения образуется парабола.(смотри рисунок 43 а).Парабола это незамкнутая плоская кривая линия. Каждая точка параболы расположена от данной прямой -MN,и от фокуса -F на одинаковом расстоянии.

Прямая MN является направляющей и расположена перпендикулярно оси параболы.Между направляющей -MN и фокусом -F, прямо посередине расположена вершина параболы А. Для того чтобы построить параболу по фокусу и заданной направляющей,через точку фокуса-F , проведем ось параболы -Х, перпендикулярно направляющей -MN.

Разделим пополам отрезок-EF и получим вершину параболы-А.От вершины параболы на произвольном расстоянии проведем прямые перпендикулярно оси параболы. Из точки -F радиусом который равен расстоянию-L, от соответствующей прямой до направляющей, например СВ, делаем на это прямой засечки. В данном случае точки С и В.

Таким образом построив несколько пар симметричных точек,проведем с помощью лекала через них плавную кривую. На рисунке(43 в) приводится пример построения параболы касательной к двум прямым ОА и ОВ в точках А и В. Отрезки ОА и ОВ делят на одинаковое число равных частей(например делят на восемь). После этого нумеруются полученные точки деления и соединяются прямыми 1-1; 2-2; 3-3 (смотри рисунок 43, в) и так далее. Эти прямые к параболической кривой являются касательными. В образованный прямыми контур далее вписывают плавную касательную кривую-параболу.

Если рассечь прямой и обратный конусы плоскостью, параллельной двум его образующим или в частном случае параллельно оси, то в плоскости сечения получится гипербола, состоящая из двух симметричных ветвей (смотри рисунок 45, а).

Рисунок 45. Пересечение конуса плоскостью по гиперболе (а) и построение гиперболы (б).

Гиперболой (рисунок 45,б) называют плоскую кривую у которой разность расстояний от каждой ее точки до двух данных точек F1 и F2, называемых фокусами, есть величина постоянная и равная расстоянию между ее вершинами a и b, например SF1-SF2=ab. У гиперболы две оси симметрии -действительная АВ и мнимая CD.

Две прямые KL и K1 L1, проходящие через центр О гиперболы и касающиеся ее ветвей в бесконечности, называются асимптотами. Гиперболу можно построить по заданным вершинам a и b и фокусам F1 и F2. Вершины гиперболы определяем, вписывая прямоугольник в окружность построенном на фокусном расстоянии (отрезке F1 и F2), как на диаметре.

На действительной оси АВ справа от фокуса F2 намечаем произвольные 1, 2, 3, 4, … Из фокусов F1 и F2 проводим дуги окружностей сначала радиусом а-1, затем b-1 до взаимного пересечения по обе стороны от действительной оси гиперболы. Далее выполним взаимное пересечение следующей пары дуг радиусами а-2 и b-2(точка S) и так далее.

Полученные точки пересечения дуг принадлежат правой ветви гиперболы. Точки левой ветви будут симметричны построенным точкам относительно мнимой оси CD.

Синусоидой называется проекция траектории точки,движущейся по цилиндрической винтовой линии, на плоскость, параллельную оси цилиндра. Движение точки складывается из равномерно -вращательного движения (вокруг оси цилиндра) и равномерно-поступательного (параллельно от цилиндра).

Рисунок 46. Построение синусоиды

Синусоида представляет собой плоская кривая, которая показывает изменение тригонометрической функции синуса в зависимости от изменения величины угла. для построения синусоиды (рисунок 46) через центр О окружности диаметра D проведем прямую ОХ и на ней отложим отрезок О1 А, равный длине окружности π D . Этот отрезок и окружность делим на одинаковое число равных частей. Из полученных и занумерованных точек проведем взаимно перпендикулярные прямые. Полученные точки пересечения этих прямых соединим с помощью лекала плавной кривой.

Вычерчивание лекальных кривых

Лекальные кривые строят по точкам. Соединяют эти точки с помощью лекал, предварительно от руки прорисовывая кривую по точкам. принцип соединения отдельных точек кривой заключается в следующем:

Выбираем ту часть дуги лекала, которая лучше всего совпадает с наибольшим количеством точек очерчиваемой кривой. Далее проведем не всю дугу кривой, совпадащую с лекалом, а лишь среднюю часть ее. После этого подберем другую часть лекала, но так, чтобы эта часть касалась примерно одной трети проведенной кривой и не менее двух последующих точек кривой, и так далее. Таким образом обеспечивается плавный переход между отдельными дугами кривой.

РЕКОМЕНДУЕМ выполнить перепост статьи в соцсетях!

Отдельные участки овалов являются кривыми постоянной кривизны они могут быть начерчены с помощью циркуля, в связи с чем их называют циркульными кривыми. Кривые, имеющие переменную кривизну, вычерчивают с помощью лекал и называют лекальными кривыми. К лекальным кривым относятся: эллипс, парабола, гипербола, эвольвента окружности, различного вида циклоиды, синусоиды, различные спирали. Многие лекальные кривые образуются в результате плоски сечений различных поверхностей. Так, например, эллипс, парабола и гипербола образуются при пересечении поверхности конуса плоскостями различного наклона.

Эллипс. Геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух заданных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, называется эллипсом. Существует много способов вычерчивания эллипса. Наиболее распространенным является способ двух окружностей, диаметры которых равны большой и малой осям эллипса. Если через центр О провести произвольный диаметр, то он пересечет окружности в точках Е, F и G, Н. Через полученные точки проводят-прямые, параллельные осям эллипса; пересечение этих прямых определит две точки эллипса К и L. Обычно диаметры проводят, деля одну из окружностей на 12 равных частей.

Пусть требуется вписать эллипс в параллелограмм. Принимают нижнюю сторону параллелограмма за сторону квадрата, строят на ней квадрат и вписывают в него окружность. Центру О окружности будет соответствовать центр О" эллипса, диаметру АВ окружности будет соответствовать сопряженный диаметр А"В" эллипса и т. д. Делят половину диаметра OD и половину сопряженного диаметра O"D" на равные части (например, на четыре) и проводят через точки деления линии, параллельные АВ. На соответственных прямых будут находиться соответствующие точки окружности и эллипса, например Е и Е". Получают эти точки с помощью ломаных прямых, параллельных ломаной ODO". В технике эллипсы встречаются в спицах маховиков, в эллиптических зубчатых колесах.

TBegin-->TEnd-->

Рис. 1. Построение эллипсоида. Построение эллипса, вписанного в параллелограмм

Парабола. Геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки, являющейся фокусом, и данной прямой, являющейся директрисой, называется параболой. Наиболее часто параболу приходится строить, сопрягая ею прямые разного направления (рис. 2, а). Для построения параболы на участке АВ делят отрезки прямых АО и ОВ на одинаковое число равных частей, обозначают точки деления в последовательности 1-5, 1—5; одинаково обозначенные точки соединяют прямыми и проводят кривую, касательную к семейству прямых.

TBegin-->
TEnd-->

Рис. 2. Построение параболы

Можно построить параболу по ее вершине А и произвольной точке В (рис. 2, б). Для этого проводят через точку А ось параболы АС; строят на ней прямоугольник ADBC; стороны прямоугольника делят и обозначают так же, как в предыдущем случае; через точки деления на прямой AD проводят отрезки, параллельные оси параболы, а точки деления, находящиеся на прямой DB, соединяют с вершиной параболы Л; точки пересечения прямых, проходящих через точки, обозначенные одинаковыми цифрами, будут являться точками параболы (точки I, II, III).

Гипербола . Геометрическое место точек плоскости, разность расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) есть величина постоянная, называется гиперболой. Гипербола в техническом черчении встречается в деталях конической формы, усеченных плоскостями. Кривую обычно строят, используя методы начертательной геометрии. Геометрические приемы построения этой кривой не отличаются простотой; вот один из них. Для построения гиперболы по сторонам угла АО и ОВ (асимптотам) и какой-либо точке С проводят через эту точку линии, параллельные асимптотам (рис. 3). Затем пересекают эти линии лучами О 1 , О 2 и т. д. и из точек пересечения лучей вновь проводят линии, параллельные асимптотам, до их взаимного пересечения в точках 11, 21. Эти точки и являются точками гиперболы. Ветви гиперболы при продолжении приближаются к асимптотам, но практически никогда с ними не пересекаются. Существует другой практический прием построения гиперболы.

Лекальные кривые – это такие кривые, которые могут быть вычерчены только с помощью лекала по предварительно построенным точкам. Лекальные кривые широко применяются в очертаниях различных деталей и предметов. Это могут быть профили зубчатых колес и кулачков, очертания кронштейнов, подвесок, посуды и мебели. Лекальные кривые могут быть также получены в результате сечения цилиндра, конуса и других тел вращения плоскостью.

33.3.1. Порядок вычерчивания лекальных кривых

Пусть на рисунке 196, а заданы точки 1 , 2 , ..., 11 принадлежащие некоторой кривой. Предварительно эти точки от руки с помощью мягкого карандаша соединяют тонкой, по возможности более плавной кривой линией (рис. 196, б). Желательно, чтобы расстояние между точками лекальной кривой не превышало 15 мм. Если же две соседние точки кривой расположены далеко друг от друга и характер кривой не совсем ясен, то следует построить дополнительно еще одну или две точки.

Рис. 196
Затем приступают к предварительной обводке кривой с помощью лекала. Лекало надо подобрать такое, чтобы очертания некоторых его участков были похожи на отдельные участки данной кривой. Предварительный подбор лекала рекомендуется делать на длину всей кривой и черточками на нем помечать выбранные участки. Это особенно важно для обводки симметричных кривых, таких, как эллипс, парабола и др.

Подобранное лекало прикладывают к кривой так, чтобы лежащие подряд как минимум три или четыре точки кривой совпали с определенным участком лекала (например, точки 1–5 на рисунке 196, б). Далее подбирают следующий участок лекала таким образом, чтобы он охватывал также три или четыре точки кривой, включая хотя бы одну точку из предыдущего участка (например, точки 4–9 на рисунке 196, в). Благодаря такому перекрытию двух соседних участков достигается плавность кривой. После того, как будут подобраны участки лекала на протяжении всей кривой, приступают к окончательной обводке ее карандашом или тушью Обводку следует начинать с места наиболее крутого изгиба кривой. На каждом участке обводят среднюю часть его, включая половину участков перекрытия. Такая обводка обеспечивает наибольшую плавность кривой (рис. 196, г).

33.3.2. Способы построения некоторых лекальных кривых

Эллипс. Если рассечь поверхность кругового конуса наклонной плоскостью Р так, чтобы она пересекла все его образующие, то в плоскости сечения получится эллипс (рис. 197).

Рис. 197– Пересечение конуса плоскостью по эллипсу
Эллипс (рис. 198) – плоская замкнутая кривая, у которой сумма расстояний от любой ее точки (например, от точки М ) до двух заданный точек F 1 и F 2 – фокусов эллипса – есть величина постоянная, равная длине его большой оси AB (например, F 1 M + F 2 M = AB ). Отрезок AB называется большой осью эллипса, а отрезок CD – его малой осью. Оси эллипса пересекаются в точке O – центре эллипса, а его размер определяет длина большой и малой осей. Точки F 1 и F 2 расположены на большой оси AB симметрично относительно точки O и удалены от концов малой оси (точек С и D ) на расстояние, равное половине большой оси эллипса
.

Рис. 198
Существует несколько способов построения эллипса. Наиболее просто построить эллипс по двум его осям при помощи вспомогательных окружностей (рис. 199). В этом случае задают центр эллипса – точку O и через нее проводят две взаимно перпендикулярные прямые (рис. 199 а). Из точки О описывают две окружности радиусами, равными половине большой и малой осей. Большую окружность делят на 12 равных частей и точки деления соединяют с точкой О . Проведенные линии разделят меньшую окружность также на 12 равных частей. Затем через точки деления меньшей окружности проводят горизонтальные прямые (или прямые, параллельные большой оси эллипса), а через точки деления большей окружности – вертикальные (или прямые, параллельные малой оси эллипса). Точки их пересечения (например, точка М ) принадлежат эллипсу. Соединив полученные точки плавной кривой, получают эллипс (рис. 199, б).

Рис. 199
Парабола. Если круговой конус рассечь плоскостью Р , параллельной одной из его образующих, то в плоскости сечения получится парабола (рис. 200).

Рис. 200– Пересечение конуса плоскостью по параболе
Парабола (рис. 201) – плоская кривая, каждая точка которой удалена на одинаковое расстояние от заданной прямой DD 1 , называемой директрисой , и точки F – фокуса параболы . Например, для точки М отрезки MN (расстояние до директрисы) и MF (расстояние до фокуса) равны, т. е. MN = MF .

Парабола имеет форму разомкнутой кривой с одной осью симметрии, которая проходит через фокус параболы – точку F и расположена перпендикулярно к директрисе DD 1 . Точна A , лежащая на середине отрезка OF , называется вершиной параболы . Расстояние от фокуса до директрисы – отрезок OF = 2  OA – обозначают буквой р и называют параметром параболы . Чем больше параметр р , тем резче ветви параболы отходят от ее оси. Отрезок, заключенный между двумя точками параболы, расположенными симметрично относительно оси параболы, называется хордой (например, хорда M К ).

Рис. 201
Построение параболы по ее директрисе DD 1 и фокусу F (рис. 202, а). Через точку F перпендикулярно к директрисе проводят ось параболы до пересечения ее с директрисой в точке О. Отрезок OF = p делят пополам и получают точку A – вершину параболы. На оси параболы от точки A откладывают несколько постепенно увеличивающихся отрезков. Через точки деления 1, 2, 3 и т. д. проводят прямые, параллельные директрисе. Приняв фокус параболы за центр, описывают дуги радиусом R 1 = L 1 1 , радиусом R 2 = L 2 до пересечения с прямой, проведенной через точку 2 , и т. д. Полученный точки принадлежат параболе. Вначале их соединяют тонкой плавной линией от руки, затем обводят по лекалу.

Построение параболы по ее оси, вершине А и промежуточной точке М (рис. 202, б). Через вершину A проводят прямую, перпендикулярную к оси параболы, а через точку М – прямую, параллельную оси. Обе прямые пересекаются в точке B . Отрезки AB и BM делят на одинаковое число равных частей, а точки деления нумеруют в направлениях, указанных стрелками. Через вершину A и точки 1 , 2 , 3 , 4 проводят лучи, а из точек I , II , III , IV прямые, параллельные оси параболы. На пересечении прямых, обозначенных одинаковым номером, расположены точки, принадлежащие параболе. Обе ветви параболы одинаковы, поэтому другую ветвь строят симметрично первой с помощью хорд.

Рис. 202
Построение параболы, касательной к двум прямым OA и ОВ в данных на них точках A и В (рис. 203, б). Отрезки O A и ОВ делят на одинаковое число равных частей (например, на 8 частей). Полученные точки деления нумеруют и одноименные точки соединяют прямыми 1 –1 , 2 –2 , 3 –3 и т. д. Эти прямые являются касательными к параболической кривой. Далее в образованный прямыми контур вписывают плавную касательную кривую – параболу.

Рис. 203– Построение параболы по двум ее точкам и касательным

Гипербола. Если рассечь прямой и обратный конусы плоскостью, параллельной двум его образующим или в частном случае параллельной оси, то в плоскости сечения получится гипербола, состоящая из двух симметричных ветвей (рис. 204, а).

Гиперболой (рис. 204, б) называется незамкнутая плоская кривая, представляющая собой множество точек, разность расстояний которых от двух данных точек есть величина постоянная.

Рис. 204– Пересечение конуса плоскостью по гиперболе (а) и построение гиперболы (б)

Постоянные точки F 1 и F 2 называются фокусами , а расстояние между ними – фокусным расстоянием . Отрезки прямой (F 1 M и F 2 M ), соединяющие какую-нибудь точку (M ) кривой с фокусами, называются радиус–векторами гиперболы. Разность расстояний точки от фокусов F 1 и F 2 есть величина постоянная и равная расстоянию между вершинами а и b гиперболы; например, для точки M будем иметь: F 1 M - F 2 M = ab. Гипербола состоит из двух незамкнутых ветвей, имеет две взаимно перпендикулярные оси – действительную АВ и мнимую CD. Прямые pq и rs, проходящие через центр O называются асимптотами .

Построение гиперболы по данным асимптотам pq и rs, фокусам F 1 и F 2 приведено на рисунке 204, б.

Действительная ось АВ гиперболы является биссектрисой угла, образованного асимптотами. Мнимая ось CD перпендикулярна АВ и проходит через точку О. Имея фокусы F 1 и F 2 , определяют вершины а и b гиперболы, для чего на отрезке F 1 F 2 строят полуокружность, которая пересекает асимптоты в точках m и п. Из этих точек опускают перпендикуляры на ось A B и на пересечении с ней получают вершины а и b гиперболы.

Для построения правой ветви гиперболы на прямой АВ правее фокуса F 1 намечают произвольные точки 1 , 2 , 3 , . .., 5. Точки V и V1 гиперболы получаются, если принять отрезок а5 за радиус и из точки F2 провести дугу окружности, которую засекают из точки F 1 , радиусом, равным b 5. Остальные точки гиперболы строятся по аналогии с описанным.

Иногда приходится строить гиперболу, у которой асимптоты ОХ и OY взаимно перпендикулярны (рис. 205). В этом случае действительная и мнимая оси будут бисс ектрисами прямых углов. Для построения задается одна из точек гиперболы, например точка А.

Рис. 205– Построение гиперболы с взаимно перпендикулярными асимптотами

Через точку A проводят прямые АK и AM , параллельные осям ох и oу . Из точки O перес ечения ос ей проводят прямые, перес екающие прямые AM и АK в точках 1 , 2 , 3 , 4 и 1" , 2" , 3" , 4" . Далее из точек пересечения с этими прямыми проводят вертикальные и горизонтальные отрезки до их взаимного пересечения в точках I, II, III, IV и т. д. Полученные точки гиперболы соединяют с помощью лекала. Точки 1, 2, 3, 4 , расположенные на вертикальной прямой, берутся произвольно.

Эвольвента окружности или развертка окружности. Эвольвентой окружности называется плоская кривая, которую описывает каждая точка прямой линии, если эту прямую катить без скольжения по неподвижной окружности (траектория точек окружности, образованная ее развертыванием и выпрямлением) (рис. 206).

Для построения эвольвенты достаточно задать диаметр окружности D и начальное положение точки A (точку A 0 ). Через точку A 0 проводят касательную к окружности и на ней откладывают длину заданной окружности
D . Полученный отрезок и окружность делят на одинаковое число частей и через точки деления окружности проводят в одном направлении касательные к ней. На каждой касательной откладывают отрезки, взятые с горизонтальной прямой и соответственно равные 1A 1 = A 0 1 , 2 A 2 = В A 0 2 , 3A 3 = А 0 3 и т. д.; полученные точки соединяют по лекалу.

Рис. 206
Спираль Архимеда Спиралью Архимеда называется плоская кривая, которую описывает точка A , равномерно вращающаяся вокруг неподвижной точки – полюса О и одновременно равномерно удаляющаяся от него (рис. 206). Расстояние, пройденное точкой при повороте прямой на 360°, называют шагом спирали. Точки, принадлежащие спирали Архимеда, строят, исходя из определения кривой, задаваясь шагом и направлением вращения.

Построение спирали Архимеда по заданному шагу (отрезок ОА) и направлению вращения по часовой стрелке (рис. 206). Через точку О проводят прямую, откладывают на ней величину шага спирали OA и, приняв его за радиус, описывают окружность. Окружность и отрезок OA делят на 12 равных частей. Через точки деления окружности проводят радиусы O 1 , O 2 , O 3 и т. д. и на них от точки О откладывают при помощи дуг соответственно 1/12, 2/12, 3/12 и т. д. радиуса окружности. Полученные точки соединяют по лекалу плавной кривой.

Спираль Архимеда является незамкнутой кривой, и при необходимости можно построить любое число ее витков. Для построения второго витка описывают окружность радиусом R = 2
OA и повторяют все предыдущие построения.

Рис. 207
Синусоида. Синусоидой называется проекция траектории точки, движущейс я по цилиндричес кой винтовой линии, на плоскость, параллельную оси цилиндра. Движение точки складывается из равномерно–вращательного движения (вокруг оси цилиндра) и равномерно–поступательного (параллельно оси цилиндра). Синусоида – это плоская кривая, которая показывает изменение тригонометрической функции синуса в зависимости от изменения величины угла.

Для построения синусоиды (рис. 208) через центр О окружности диаметра D проводят прямую ОХ и на ней откладывают отрезок O 1 A , равный длине окружности
D. Этот отрезок и окружность делят на одинаковое число равных частей. Из полученных и занумерованных точек проводят взаимно перпендикулярные прямые. Полученные точки пересечения этих прямых соединяют с помощью лекала плавной кривой.

Рис. 208– Построение синусоиды
Кардиоида . Кардиоидой (рис. 209) называетс я замкнутая траектория точки окружнос ти, которая катится без скольжения по неподвижной окружности того же радиуса.

Рис. 209– Построение кардиоиды

Из центра О проводят окружность заданного радиуса и берут на ней произвольную точку M. Через эту точку проводят ряд секущих. На каждой секущей по обе стороны от точки пересечения ее с окружностью откладывают отрезки, равные диаметру окружности M 1. Так, секущая III 3МIII 1 пересекает окружность в точке 3 ; 3III и 3III 1 , равные диаметру M 1. Точки III и III 1 , принадлежат кардиоиде. По аналогии, с екущая IV4MIV 1 перес екает окружность в точке 4; от этой точки откладывают отрезки IV4 и 4IV 1 , равные диаметру M1 , получают точки IV и IV 1 и т. д.

Найденные точки соединяют кривой, как указано на рисунке 209.

Циклоидальные кривые . Циклоиды – плоские кривые линии, описываемые точкой, принадлежащей окружности, катящейся без скольжения по прямой линии или окружности. Если при этом окружность катится по прямой линии, то точка описывает кривую, называемую циклоидой .

Если окружность катится по другой окружности, находясь вне ее (по выпуклой части), то точка описывает кривую, называемую эпициклоидой .

Если же окружность катится по другой окружности, находясь внутри ее (по вогнутой части), то точка описывает кривую, называемую гипоциклоидой . Окружность, на которой расположена точка, называется производящей . Линия, по которой катится окружность, называется направляющей .

Для построения циклоиды (рис. 210) проводят окружность заданного радиуса R ; на ней берут начальную точку A и проводят направляющую прямую АВ, по которой катится окружность.

Рис. 210– Построение циклоиды

Делят заданную окружность на 12 равных частей (точки 1" , 2" , 3" , . .., 12"). Если точка A перемес титс я в положение A 12 , то отрезок AA 12 будет равен длине заданной окружнос ти, т. е.
. Проводят линию центров О – O 12 производящей окружнос ти, равную
, и делят ее на 12 равных частей. Получают точки O 1 , O 2 , O 3 , ..., O 12 , являющиеся центрами производящей окружнос ти. Из этих точек проводят окружнос ти (или дуги окружнос тей) заданного радиуса R , которые касаются прямой АВ в точках 1, 2, 3, ..., 12. Если от каждой точки касания отложить на соответствующей окружности длину дуги, равную величине, на которую переместилась точка A , то получим точки, принадлежащие циклоиде. Например, для получения точки A 5 циклоиды следует из центра O 5 провести окружность и от точки касания 5 отложить по окружности дугу А5, равную А5", или из точки 5" провести прямую, параллельную АВ, до пересечения в точке A 5 с проведенной окружностью. Аналогично строят и все другие точки циклоиды.

Эпициклоида строится следующим образом . На рисунке 211 изображены производящая окружность радиус а R с центром O 0 , начальная точка A на ней и дуга направляющей окружнос ти радиус а R 1 , по которой катитс я окружность. Построение эпициклоиды аналогично построению циклоиды, а именно: делят заданную окружность на 12 равных частей (точки 1" , 2" , 3" , ..., 12"), каждую часть этой окружности откладывают от точки A по дуге АВ 12 раз (точки 1 , 2 , 3 , ... , 12) и получают длину дуги AA 12 . Эту длину можно определить с помощью угла
.

Далее из центра О радиусом, равным OO 0 , наносят линию центров производящей окружности и, проводя радиусы 01 , 02 , 03 , ..., 012 , продолженные до пересечения с линией центров, получают центры О ч. 21 ч. 22 ч. 23

Вам могут быть интересны следующие материалы

О детях

Чувства и эмоции

Делюсь опытом

Мужчинам

Отношения

Женщинам

© 2024 Сайт по саморазвитию. Вопрос-ответ